Пример 4

2. К грузу 1 массы m₁=20 кг и цилиндрическому катку 3 радиуса ₃=0,2 м массы m₃=10 кг прикреплена нить, переброшенная через блок 2 массы m₂=2,5 кг (рис. 5). Даны значения углов: , . Определить ускорение груза 1, его скорость в зависимости от пройденного им по наклонной плоскости пути s и условие того, чтобы груз опускался, если в начальный момент МС находилась в покое. Блок 2 и каток 3 считать однородными круглыми цилиндрами, массой нити пренебречь. Коэффициент трения скольжения груза f_c=0,1, а коэффициент трения качения катка f_к=0,01 Н/м.

3 Рассматриваемый объект принимается за МС, состоящую из од - ной МТ – груз 1 и двух АТТ: блок 2 и каток 3.

Рис. 5

2. Связи стационарные, удерживающие и неидеальные, так как работы силы трения скольжения – F_тр и момента трения качения – M_тр на виртуальных перемещениях не равны нулю.

Силовая схема, состоящая из сил и моментов: , ,,, представлена на рис. 5. Реакции связей не войдут в общее уравнение динамики, так как их работы на виртуальных перемещениях равны нулю. Сила трения скольжения и момент трения качения условно принимаются за активные силы:

, (Ч.2 Статика).

Д54 ПДС

5 7 , ,

С учетом формул для моментов инерции:

и ,

получим следующие выражения моментов сил инерции:

, .

4 Векторная форма: да.

5б Равновесие: нет, движение.

6б Д49 КЭС

3 –6

7б Виртуальные перемещения изображены на рис. 5.

8б Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через (=1). Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано для перемещений в примере 1 главы 4, п. 4.9. Ч.3 Динамика (рис. 38).

Груз 1 принимается за МТ и совершает прямолинейное движение. Блок 2 совершает вращательное движение относительно неподвижной точки, каток 3 совершает плоско-параллельное движение:

, , .

Все ускорения выражаются через ускорение груза. Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано для перемещений и скоростей в примере 1 главы 4, Ч.3 Динамика (рис. 38) или используются по аналогии соотношения, полученные ранее для виртуальных перемещений:

, , .

9 Подставив в выражения для силы трения скольжения, момента трения качения, сил и моментов сил инерции (уровень 3), а также соотношения между виртуальными перемещениями и ускорениями (уровень 8б), получим:

Так как r₁ – независимая вариация, то:

10 Ответ:

.

Скорость груза 1 с учетом нулевых начальных условий можно найти путем искусственного преобразования и интегрирования методом разделения переменных:

, так как , то, разделив переменные, получим:

, , ,

.

Условия того, чтобы груз 1 опускался W₁>0 или V₁>0, т. е.

.

Таким образом, условие того, чтобы груз 1 опускался, выполняется.

Пример 5

2. Объект состоит из: неподвижного и подвижного блоков 1, 2 масс m₁=40 кг и m₂=20 кг соответственно, тележки массы m₃=10 кг, находящейся на наклонной плоскости (), катка 4 массы m₄=20 кг, прикрепленного к тележке пружиной жесткости с=0,02 Н/м, которая в начальный момент времени не деформирована, и груза 5, массы m₅=40 кг (рис. 6). На блок 1 действует пара сил с моментом =250 Нм, а на каток 3 сила F = 50 Н. Внешний радиус неподвижного блока ₁=0,4 м, а внутренний . Его масса и масса катка равномерно распределена по блоку и катку. Масса подвижного блока равномерно распределена по ободу. Массами колес тележки, пружины, тросов, соединяющих подвижные и неподвижные блоки, тележку и груз, пренебречь.

Рис. 6

Составить систему дифференциальных уравнений движения МС, используя общее уравнение динамики.

МС состоит из четырех АТТ: блоки 1, 2, тележка 3, каток 4 и МТ – груз 5.

2. Связи стационарные, удерживающие и идеальные. Силовая схема, состоящая из сил и моментов: ,, , представлена на рис. 7. Реакции идеальных связей не изображены на рис. 7.

Рис. 7.

5 , 7 ,,,

Д54 ПДС

,, , .

С учетом формул для моментов инерции:

, , ,

получим следующие выражения для моментов сил инерции:

, , .

Неподвижный блок совершает вращательное движение, подвижный блок – плоско-параллельное движение, тележка – поступательное движение. Каток совершает сложное движение, в котором переносное движение – это движение вместе с тележкой, а относительное – это плоско-параллельное движение относительно тележки. Груз 5 совершает прямолинейное движение МТ.

4 Векторная форма: да.

5б Равновесие: нет, движение.

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения (абсолютное виртуальное перемещение центра масс катка), (относительное виртуальное перемещение центра масс катка С₄, модуль которого примем за х), изображены на рис. 7.

8б Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через и , так как степень свободы МС: =2. Эти соотношения устанавливаются аналогично тому, как это было сделано ранее в этом же примере для линейных и угловых ускорений: , ,

, ,

, .

Здесь переносное виртуальное перемещение центра масс С₄ катка.

Используя соответствующие разделы Ч. 1 Кинематика или, по аналогии, соотношения, полученные ранее для виртуальных перемещений, получим следующие выражения линейных и угловых ускорений через угловое ускорение неподвижного блока ₁ и относительное ускорение центра масс катка :

, , ,

,

(так как ), .

9 Подставив в выражения для силы упругости , сил и моментов сил инерции (уровень 3), а также соотношения между виртуальными перемещениями и ускорениями (уровень 8б), получим:

Так как и независимые вариации, то:

Приняв , получим систему дифференциальных уравнений движения МС:

10 Ответ:

4.2. Алгоритм решения задач с помощью уравнений равновесия в обобщенных координатах и уравнений

Лагранжа второго рода – схемы алгоритмов

А42 УРОК, А42 УДОК с комментариями и примерами

Комментарии

К.2. Принимается рассматриваемый объект или за МТ, или АТТ, или НМС, или МС, или СМТ.

К.4а. Определяется количество  реакций опор (сил, моментов) объекта, находящегося в равновесии.

К.4б. Выбираются обобщенные координаты в соответствии с числом степеней свободы –  движущегося объекта.

К.5а. Изображается силовая схема для объекта, находящегося в равновесии, в которую входят активные силы и реакция связи (сила, момент), в точке приложения которой допускается виртуальное перемещение. Силовая схема изображается отдельно для каждой из  реакции связи.

К.5б. Изображается силовая схема для объекта, находящегося в движении, в которую входят активные силы и моменты и пассивные силы и моменты неидеальных связей (силы трения скольжения и моменты трения качения), которые условно включаются в активные силы и моменты. Реакции идеальных связей можно не изображать, так как их работа на виртуальных перемещениях равна нулю.

К.6а,б. Записывается сумма элементарных работ сил и моментов на виртуальных перемещениях на основании формул работы сил и моментов и схемы алгоритма Д49 КЭС (Ч.3 Динамика). В случае равновесия объекта сумма элементарных работ сил и моментов записывается для каждого случая определения реакции связи.

К.7а,б. Изображаются виртуальные перемещения для всех точек приложения сил и виртуальные углы поворотов, связанные с моментами.

Все виртуальные перемещения выражаются в случае равновесия объекта через одно виртуальное перемещение, а в случае движения объекта через виртуальные перемещения, число которых соответствует степени свободы рассматриваемого объекта. Используются формулы, теоремы из Ч. 1 Кинематика, в частности, формулы для различных типов передачи движения, понятия мгновенного центра скоростей (здесь мгновенный центр виртуальных перемещений) или теорему о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки (здесь проекции виртуальных перемещений) в случае плоско-параллельного движения; теорему о сложении скоростей (здесь виртуальных перемещений) в сложном движении и другие кинематические соотношения.

К.8а,б. Подставляются в сумму элементарных работ зависимости между виртуальными перемещениями. Группируются слагаемые при виртуальных перемещениях.

Записываются выражения для обобщенных сил, которыми являются коэффициенты при вариациях обобщенных координат.

К.9б. Записывается выражение для кинетической энергии объекта с использованием схемы алгоритма Д49 КЭС (Ч. 3 Динамика). Все скорости выражаются через обобщенные скорости, при этом могут быть использованы соотношения, полученные ранее для виртуальных перемещений.

К.10а,б. Используются в случае равновесия объекта условия равновесия в обобщенных координатах. Этих условий будет столько, сколько необходимо определить реакции опор. В случае движения объекта используются уравнения движения в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода, предварительно определив частные производные ,.

К.11. Получаются алгебраические уравнения в случае равновесия объекта и дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений, состоящая из  уравнений, случае движения объекта.

Примечание.

Примеры 1-3 с использованием принципа виртуальных перемещений могут также быть решены с использованием условий равновесия СМТ в обобщенных координатах.