Глава 2. Аналитическая статика
2.1. Принцип виртуальных перемещений
Принцип виртуальных перемещений:
Для равновесия СМТ, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех активных сил, действующих на СМТ, на любом виртуальном перемещении была равна нулю:
,
(2.1)
Доказательство необходимости:
Для доказательства необходимости принципа предположим, что несвободная СМТ со стационарными, удерживающими и идеальными связями находится в положении равновесия. Тогда каждая МТ, входящая в СМТ, находится в равновесии и, используя аксиому 5 – принцип освобождаемости (Ч.1 Статика), можно записать:
(2.2)
Сообщив МТ, входящим
в СМТ, виртуальные перемещения
,
умножим скалярно каждое из уравнений
(2.2) соответственно на
,
(=1,2,…,n)
и сложим полученные выражения:
.
Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем уравнение:
.
Что и требовалось доказать.
Доказательство достаточности:
Для доказательства достаточности применим метод от противного. Предположим, что при выполнении условия (2.1) СМТ не находится в равновесии, и хотя бы одна из МТ, например первая, пришла в движение. Тогда для этой МТ условие типа (2.2) выполняться не будет, т.е.:
(2.3)
Сообщив МТ, входящим
в СМТ, виртуальные перемещения
,
умножим каждое из уравнений (2.3) на
соответствующее
,
(=1,2,…,n)
и сложим полученные выражения почленно:
.
Так как связи, наложенные на СМТ, идеальные, то выполняются условия (1.12) и из предыдущего соотношения получаем неравенство:
,
а это противоречит условию (2.1). Следовательно, наше предположение о том, что при выполнении условия (2.1) СМТ не находится в равновесии, неверно, т.е. выполнение этого условия является и достаточным для равновесия СМТ.
Следует отметить, что в случае стационарных, удерживающих и неидеальных связей, принцип виртуальных перемещений примет вид:
(2.4)
где
– пассивные силы – силы реакции
неидеальных связей.
2.2. Условия равновесия смт в обобщенных координатах
Запишем выражение принципа виртуальных перемещений (2.1) с учетом соотношения (1.17):
.
(2.5)
Так как вариации
обобщенных координат
независимы и произвольны, то уравнение
(2.5) выполняется только при условии, что
все обобщенные силы равны нулю. В этом
легко убедиться, сообщив СМТ виртуальное
перемещение, при котором вариации всех
обобщенных координат, кроме одной,
например первой, равны нулю
(2.6)
Подставляя (2.6) в
(2.5) получим
и так далее для всех обобщенных сил. В
результате приходим к следующим условиям
равновесия СМТ в обобщенных координатах.
Условия равновесия СМТ в обобщенных координатах:
Для равновесия СМТ, на которую наложены стационарные, удерживающие и идеальные связи необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы равнялись нулю:
.
(2.7)
Следует отметить, что в случае неидеальных связей в условия равновесия СМТ в обобщенных координатах войдут пассивные силы и моменты реакции связей.