1.4. Обобщенные координаты, степени свободы
Определение: Совокупность независимых параметров, достаточная для однозначного определения положения МТ или СМТ в пространстве в любой момент времени, называется обобщенными координатами МТ или СМТ.
Определение: Число независимых параметров , однозначно определяющих положение МТ или СМТ в пространстве, называется числом степеней свободы МТ или СМТ (только в случае геометрических связей).
Обобщенные
координаты обозначаются через
.
Введение обобщенных координат позволяет автоматически удовлетворить уравнениям или неравенствам связей и тем самым исключить их из дальнейшего рассмотрения.
В качестве обобщенных
координат, определяющих положение МТ
и СМТ не обязательно должны выбираться
декартовые координаты, ими могут быть
любые (по геометрическому смыслу и
размерности) параметры. Например,
обобщенными координатами для свободных
МТ или поступательно перемещающейся
НМС могут быть три декартовые координаты
x,
y,
z
(три степени свободы), для НМС, вращающейся
вокруг неподвижной оси – угол
(одна степень свободы), для
плоско-параллельного движения НМС –
две декартовые координаты х, у точки,
выбранной в качестве полюса и угол
поворота относительно этого полюса,
для движения НМС с одной закрепленной
точкой – три угла Эйлера
(три степени свободы), для свободной НМС
в общем случае движения – три декартовые
координаты x,
y,
z
полюса и три угла Эйлера
(шесть степеней свободы).
1.5. Работа сил на виртуальных перемещениях, идеальные связи, обобщенные силы
Найдем сумму работ
всех сил, действующих на СМТ, на виртуальном
перемещении СМТ, обозначив ее через А.
Сообщим точкам СМТ виртуальные перемещения
и подсчитаем сумму элементарных работ,
приложенных к этим МТ сил, на этих
перемещениях. По аналогии с выражением
суммы элементарных работ сил на
действительных перемещениях работу
этих сил на виртуальных перемещениях
можно записать в виде:
.
(1.11)
Определение: Сумма элементарных работ, которые могли бы совершить силы, приложенные к точкам СМТ на ее виртуальном перемещении, называется виртуальной работой.
С работой пассивных сил на виртуальных перемещениях связано понятие идеальных связей.
Определение: Связи называются идеальными, если сумма элементарных работ пассивных сил (реакций связей) на любом виртуальном перемещении равняется нулю, т.е.
.
(1.12)
Для каждой из МТ, входящей в СМТ, радиус-вектор можно выразить через обобщенные координаты, которые являются функциями времени:
=1,2,…,n
(1.13)
или в проекциях на оси координат:
=1,2,…,n.
Найдем вариацию радиуса-вектора -й точки СМТ:
.
(1.14)
Подставляя эти
значения
в соотношение (1.11) и изменяя порядок
суммирования, получим:
.
(1.15)
Введем обозначения:
.
(1.16)
Тогда выражение для работы сил на виртуальных перемещениях через обобщенные координаты примет вид:
.
(1.17)
Эта формула по своей структуре совпадает с формулой (1.11) и исходя из этой аналогии вводится понятие обобщенных сил.
Определение: множители Q1,Q2,…,Q, стоящие в формуле (1.17) перед вариациями обобщенных координат, называются обобщенными силами, отнесенными к соответствующим обобщенным координатам.
Возможны три способа нахождения обобщенных сил:
-
Обобщенные силы можно вычислить по формуле (1.16), предварительно выразив координаты МТ или точек СМТ через обобщенные координаты.
-
Для вычисления обобщенных сил можно использовать формулу (1.17), определив обобщенные силы как коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении суммы элементарных работ всех сил на виртуальных перемещениях. Учитывая, что вариации обобщенных координат независимы и могут принимать произвольные значения, дадим СМТ такое виртуальное перемещение, при котором вариации всех обобщенных координат, кроме одной, будут равны нулю, например,
,
(
).
Тогда из соотношения (1.17) находим
,
и так далее для всех обобщенных сил. -
В случае, когда СМТ находится в потенциальном силовом поле, т. е. силы являются консервативными силами, для проекций силы, приложенной к -й точке СМТ (Ч. 3 Динамика), можно записать:
,
где U(x,y,z)
– силовая функция, а
– потенциальная энергия. Подставляя
эти значения в соотношения (1.16) и учитывая,
что П зависит от обобщенных координат
сложным образом, имеем:
.
При решении задач чаще всего используется второй способ.