1.3. Условия, налагаемые связями на вариации координат

Рассмотрим МТ, подчиненную нестационарной геометрической и удерживающей связи, описываемой уравнением вида:

(1.5)

Пусть в момент времени t МТ занимает положение, определяемое значениями координат x, y, z. Если сообщить МТ виртуальное перемещение , то в тот же момент времени ее положение будет определяться координатами:

.

Очевидно, что при подстановке этих значений координат МТ в уравнения связи (1.5), оно должно удовлетворяться тождественно. Варьируя это уравнение, получим соотношение, которому должны удовлетворять вариации координат. С учетом того, что операция варьирования осуществляется аналогично операции дифференцирования и отличается от нее тем, что время не варьируется, получим варьированное уравнение связи:

, (1.6)

Соотношение (1.6) выражает условие, налагаемое нестационарной, геометрической и удерживающей связью на вариации декартовых координат МТ.

Рассмотрим действительное перемещение МТ при нестационарной, геометрической и удерживающей связи, описываемой соотношением вида (1.5).

Если в момент времени t декартовые координаты МТ будут , то через промежуток времени dt МТ придет в положение с декартовыми координатами:

Вычислив полный дифференциал от соотношения (1.5), получим условие, налагаемое нестационарной, геометрической и удерживающей связью на действительное перемещение МТ dr ():

. (1.7)

Соотношения (1.6) и (1.7) не совпадают, следовательно, в случае нестационарной, геометрической и удерживающей связи действительные перемещения МТ не принадлежат к числу виртуальных.

В случае стационарной, геометрической и неудерживающей связи соотношение (1.6) не изменится, а соотношение (1.7) примет вид:

. (1.8)

Соотношения (1.6) и (1.8) совпадают, следовательно, в случае стационарной, геометрической и удерживающей связи действительное перемещение МТ принадлежат к числу виртуальных.

Рассмотрим СМТ, на точки которой наложены нестационарные, геометрические и удерживающие связи, описываемые соотношениями:

(1.9)

Сообщим точкам СМТ виртуальные перемещения соответственно (). Тогда их координатами в новом положении будут:

.

Варьируя уравнения или неравенства связей (1.9), получим:

. (1.10)

Соотношения (1.10) выражают условия, налагаемые нестационарными, геометрическими и удерживающими связями на вариации декартовых координат точек СМТ.

Из соотношений (1.10) следует, что виртуальным перемещением СМТ, состоящей из n МТ, подчиненной  связям, называется совокупность векторов , проекции которых () удовлетворяют  варьированным уравнениям связей (1.10).

Рассмотрим действительные перемещения точек СМТ через промежуток времени dt при геометрических и удерживающих, как стационарных так и нестационарных связях.

Вычислив полный дифференциал от соответствующего соотношения связей, аналогично тому, как это было сделано для МТ, получим, что в случае нестационарных, геометрических и удерживающих связей действительные перемещения точек СМТ не принадлежат к числу виртуальных, в случае стационарных, геометрических и удерживающих связей действительные перемещения принадлежат к числу виртуальных.