Пример 7

2 Используя условие задачи примера 4 (рис. 5), определить ускорение груза и его скорость в зависимости от пройденного им пути с помощью уравнения Лагранжа второго рода.

3 Равновесие объекта: нет, движение объекта.

4 Обобщенная координата: .

Степень свободы: .

5б Связи стационарные, удерживающие и неидеальные (работы силы трения скольжения и момента трения качения на виртуальных перемещениях не равны нулю). Силовая схема, состоящая из представлена на рис. 15.

Нормальные реакции связей не войдут в обобщенные силы, так как их работы на виртуальных перемещениях равны нулю.

Сила трения скольжения и момент трения качения условно принимаются за активные силы:

, .

Рис. 15

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения изображены на рис. 15.

Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через , так как степень свободы МС . Эти соотношения получены в примере 4 настоящей главы:

, ,

8б Подставив в полученные в уровне 5б выражения для силы трения скольжения, момента трения качения, а также соотношения между виртуальными перемещениями, найденные в уровне 6б, получим:

.

9б Д49 КЭС

Т

Кинетическая энергия МС найдена в примере 1 главы 4, п. 4.9, Ч.3 Динамика (рис. 38).

.

10б , .

11 Составим уравнение Лагранжа второго рода

.

.

12 Ответ:

.

Скорость груза с учетом нулевых начальных условий можно найти путем искусственного преобразования и интегрирования методом разделения переменных (аналогично тому, как это сделано в примере 4 настоящей главы):

Условия того, чтобы груз опускался , т.е.

.

Эти условия выполняются, следовательно, груз 1 опускается.

Пример 8

2 Используются условия задачи примера 5 (рис. 6).

Найти системуыражаем все изображенные на рис. 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 дифференциальных уравнений движения МС с помощью уравнений Лагранжа второго рода.

3 Равновесие объекта: нет, движение объекта.

4б Обобщенные координаты .

Степень свободы .

5б Связи стационарные, удерживающие и идеальные.

Силовая схема, состоящая из , представлена на рис. 16. Сила упругости .

Рис. 16

Реакции идеальных связей можно не изображать на рисунке, так как они не войдут в обобщенные силы.

6б Д49 КЭС 3 – 6

7б Виртуальные перемещения , (виртуальное абсолютное перемещение центра масс катка), (виртуальное относительное перемещение центра масс катка), изображены на рис. 16.

Соотношения между виртуальными перемещениями выражаются через , так как степень свободы МС .

Эти соотношения получены в примере 5:

, , ,

, ,

8б Подставим в полученное в уровне 5б выражение для силы упругости, а также соотношения, выражающие зависимость между виртуальными перемещениями, найденные в уровне 7б, получим:

.

9б Д49 КЭС

Т

8 Неподвижный блок совершает вращательное движение.

9 , здесь .

8 Подвижный блок совершает плоско-параллельное движение.

9 ,

здесь .

8 Тележка совершает поступательное движение.

9 , здесь .

8 Каток совершает сложное движение: поступательное вместе с тележкой (переносное движение) и плоско-параллельное относительно тележки (относительное движение)

,

здесь , , .

8 Груз совершает прямолинейное движение МТ.

9 , здесь

10

10 Прежде, чем записать уравнения Лагранжа второго рода, найдем частные производные :

, ,

, .

11 Уравнения Лагранжа второго рода:

12 Ответ:

Примечание

Сравнивая решения задач в примерах 4 и 5 с решением задач в примерах 7 и 8, можно сделать вывод, что использование уравнений Лагранжа второго рода по сравнению с общим уравнением динамики дает более универсальный и рациональный метод решения задач динамики.

Заключение

Алгоритм аналитической механики – управляющий

А00 УПР с комментариями

-

Комментарии

К.3. Вводятся основные понятия аналитической механики: классификация связей, виртуальные перемещения, обобщенные координаты, степени свободы, работа сил на виртуальных перемещениях, обобщенные силы, идеальные связи (глава 1).

К.4,5,6. Используются две формы условий равновесия: СМТ принцип виртуальных перемещений и условия равновесия в обобщенных координатах и два условия движения СМТ: общее уравнение динамики, уравнение движения СМТ в обобщенных координатах – уравнения Лагранжа второго рода (главы 2 и 3).

К.7. Рассматриваются два алгоритма решения задач с комментариями и примерами: один с использованием принципа виртуальных перемещений и общего уравнения динамики, другой с помощью условий равновесия в обобщенных координатах и уравнений движения СМТ в обобщенных координатах – уравнений Лагранжа второго рода (глава 4)

201