- •Экзаменационные билеты (і семестр)
- •Множества и операции над ними. Основные числовые множества. Высказывания. Логические операции над выше названными.
- •Факториал. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Формулы сокращенного умножения: (a±b) 3, a±b3
- •Арифметические действия над комплексными числами.
- •Для определение Обратной матрицы необходимо
- •Решение систем методом Гаусса
- •Решение систем методом обратной матрицы.
- •Свойства скалярного произведения:
- •Свойства векторного произведения:
- •Ответ: (3;15;19)
- •Свойства функций, непрерывных в точке.
- •Замечание:
- •34. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя.
- •39. Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхность уровня. Предел и непрерывность фнп.
- •40. Частные произведения 1-го порядка фнп. Полный дифференциал фнп. Частные произведение высших порядков фнп.
Замечание:
Эта теорема неверна, если отрезок [a,b] заменить интервалом (a,b). Например, ƒ(x) - непрерывна на (0,1), но не ограничена так как .
Определение. Наибольшим значением функции y= ƒ(x) на отрезке [a,b] называется такое ее значение ƒ(x), что ƒ(x)≤ ƒ(x1) при .
Определение. Наименьшим значением функции y= ƒ(x) на отрезке [a,b] называется такое ее значение ƒ(x), что ƒ(x)≥ ƒ(x1) при .
Теорема 4 (Вторая теорема Вейерштрасса)
Функция, непрерывная на отрезке [a,b], достигает в нем своего наименьшего m и наибольшего M значения, т.е. , , что ƒ(x1)=m, ƒ(x2)=M.
Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Теорема 5 (О непрерывности обратной функции)
Пусть функция ƒ(x)определена, строго монотонна и непрерывна на некотором промежутке X, и пусть Y – множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция однозначна, строго монотонна и непрерывна.
Например:
Функция y=sinx на возрастает, непрерывна и множество ее значений – [-1; 1]. По теореме 5 на [-1; 1] существует непрерывная, возрастающая обратная функция со множеством значений : x=arcsiny. Если теперь x и y поменять местами, т.е. рассмотреть функцию y=arcsinx, то получим график:
32. Приращение аргумента, приращение функции. Понятие производной. Физический и геометрический смысл производной.
33. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции.
Функция, имеющая производную в данной точке называется дифференцируемой в данной точке.
Функция называется дифференцируемой в данном промежутке, если она имеет производную в каждой точке данного промежутка.
Если промежуток замкнутый, то на концах – односторонняя производная.
Теорема 1 (зависимость между непрерывностью и дифференцированием):
Если функция y=f(x) дифференцируема в данной точке, то она и непрерывна в ней.
Замечание: Обратное не всегда верно.
- в точке x=1 непрерывна, но не дифференцируема.
Пусть f(x) – дифференцируема в точке x, т.е. существует .
Т.к. , то переходя к пределу
Действительно функция непрерывна (по необходимому и достаточному условию непрерывности).
Теорема 2:
Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций.
Пусть , где - дифференцируемые функции.
Т.к. ,
переходя к пределу
Таким образом,
Следствие: Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых.
Теорема 3:
Производная двух дифференцируемых функций определяется формулой
Следствие 1:
Постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Следствие 2:
Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на остальные:
Например:
Теорема 4:
Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой
Рассмотрим сложную функцию , где x – независимая переменная, а - промежуточный аргумент.
Теорема 5:
Если y=f(x) и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
или
Например:
Основные формулы дифференцирования: