Для определение Обратной матрицы необходимо

1)Найти определитель матрицы

2)Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

3)Составить союзную матрицу из алгебраических дополнений транспонированного вида

4)Разделить все элементы союзной матрицы на определитель матрицы

7. Понятие системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем методом Крамера.

Линейной системой m уровнений с n неизвестными х1,х2…хn называется системой линейных алгебраических уравнений. Совокупность значений неизвестных, довлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной. Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением. Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений. Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Метод Крамера ( формулы Крамера ) — способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнени

Т. Если определитель системных уровнений отличен от нуля

7. Решение систем методом Гаусса

Метод Гаусса при решении системы уравнений можно разделить на два этапа: прямой и обратный ход. Вычисление неизвестных ведется в обратной последовательности: x₄,x₃ x₂,x₁. Необходимым и достаточным условием выполнения метода Гаусса должно быть следующим: все ведущие элементы А_ii не должны равняться нулю

Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Коэффициенты a₁₁,₁₂,..., a_1n, ... , a_n1 , b₂ , ... , b_n считаются заданными .

Вектор -строка íx₁ , x₂ , ... , x_n

ý - называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел

вместо переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.

Определитель n-го порядка D=çAê=ça _ij

ç, составленный из коэффициентов при неизвестных , называется

определителем системы (1). В зависимости от определителя системы (1) различают

следующие случаи.

a). Если D¹0, то система (1) имеет единственное решение, которое может

быть найдено методом ГАУССА .

б). Если D=0 , то система (1) либо имеет бесконечное множество решений , либо

несовместна ,т.е. решений нет.

7. Решение систем методом обратной матрицы.

Матрицей, обратной квадратной матрице А называется квадратная матрица , удовлетворяющая равенствам: , где Е- единичная матрица

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

(*) Опр. Матрицей, присоединенной к матрице А, называется матрица

,

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы А, причем алгебраические дополнения элементов i-той строки матрицы А расположены в i-том столбце матрицы С.

Опр. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.

Т. Всякая невырожденная квадратная матрица А (*) имеет единственную обратную матрицу

,

где С- присоединенная матрица, |A| - определитель матрицы А.

Свойства:

1.

2.

3.

4.det

Построение обратной матрицы:

Надо сначала составить матрицу из алгебраических дополнений, транспонировать ее, получим присоединенную матрицу С. Затем каждый ее элемент надо разделить на определитель исходной матрицы.

Например:

Найти обратную для матрицы

Решение:

1)

7. Понятие вектора на плоскости и в пространстве, линейные операции над векторами в геометрической форме.

Векторная величина характеризуется числом и направлением.

Сила () Ускорение ()

Для геометрического изображения векторных величин служат векторы.

Вектором называется направленный отрезок.

Длина вектора обозначается , .

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Нулевой вектор – это вектор, начало, и конец которого совпадают.

Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой называются коллинеарными.

Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых и имеющие одинаковое направление называются однонаправленными.

Векторы лежащие на одной прямой или на параллельных прямых и имеющие разное направление называются разнонаправленные.

Два вектора называются равными если они коллинеарны, направлены в одну сторону и имеют равные длины.

Векторы лежащие в параллельных плоскостях или в одной плоскости называются компланарными.

Пусть в пространстве задан вектор и ось ;

А₁= пр. и В₁= пр.;

Проекцией вектора на ось называется алгебраическая величина отрезка А₁В_1, то есть длина отрезка А₁В₁ со знакам «+» будет в том случае, если его направление совпадает с направлением оси. Знак «-», если его направление не совпадает с направлением оси.

= пр.

Если - угол между и осью , то пр.= COS ;

Равные векторы имеют равные проекции на одну ось.

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат, (три взаимно перпендикулярные упорядоченные оси OX, OY, OZ).

Радиус-вектором точки М называется вектор = начало координат которого совпадает с началом координат, конец в точке М. Точки А, В, С – проекциями точки М на оси OX, OY, OZ.

7. Прямоугольная декартовая система координат, координаты вектора. Длинна вектора, линейные операции над векторами в прямоугольной и декартовой системе координат.

Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора называются его проекции на координатные оси:

X - проекция на ось X вектора ;

Y - проекция на ось Y вектора ;

Z - проекция на ось Z вектора ;

Или (X,Y,Z), то есть вектор имеет координаты (X,Y,Z).

Z

Координаты радиус-вектора ОМ равны

координатам точки М(x,y,z).Базисом в

C пространстве называется упорядоченная

тройка некомпланарных векторов.

M

O Y

B

A

X

Введем в рассмотрение единичные векторы координатных осей (орты).

Вектор (X,Y,Z) можно разложить по базисным векторам :

1) = X+Y+Z- составляющие вектора ;

2) - длина вектора через его координаты.

Если даны две точки М₁(x₁,y₁,z₁) и М₂(x₂,y₂,z₂) тогда координаты вектора находятся по формуле:

3)

А его длина:

4) - так же определяет расстояние между двумя точками.

7. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

Скалярным произведением двух векторов называется число равное произведению двух длин на косинус угла между ними:

где - угол между ними.

Физический смысл: если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора , то работа указанной силы определяется равенством:

, т.е. скалярное произведение векторов и .