Свойства скалярного произведения:

1) = (переместительное свойство).

2) (+ )=+(распределительное свойство).

3) ()=()= () (сочетательное свойство).

Скалярное произведение называется скалярным квадратом и обозначается и равно квадрату его длины:

==.

Если векторы и имеют соответствующие координаты (X₁,Y₁,Z₁) и (X₂,Y₂,Z₂), то их скалярное произведение с координатной форме выразится формулой:

=X₁X₂+Y₁Y₂+Z₁Z₂.

Угол между ними:

Тогда необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов и будет:

7. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

Определение. Векторным произведением двух векторов и называют третий вектор , удовлетворяющий условиям:

1. ,

2. 

3. Реперы и имеют одинаковую ориентацию.

Обозначается:

, где S – площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Если - единичный вектор направления , то векторное произведение может быть выражено:

Векторное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда вектора и коллинеарны:

. В частности

Свойства векторного произведения:

1. Антиперестановочность множителей :

2. - сочетательность относительно скалярного множителя.

3. - распределительность относительно сложения.

Теорема. Если вектора и заданы своими координатами, т.е. , , то

или имеет координаты:

Пример:

1. Найти векторные произведения единичных векторов правой системы координат , , :

или ;

- «отбрасывается», т.к. репер - левый.

Решение: вектор коллинеарен

вектор единичный

Аналогично: ,

,

.

2. Даны вектора а(7;-5;-6), в(1;-2;-3), найти координаты :

Ответ: (3;15;19)

7. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.

Ответ :Смешанным произведением 3-х векторов наз. число равное векторному произведению умноженному скалярного на вектор

Смешанное произведение 3-ёх некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда построенного на веккторах взятому со знаком +когда реперы и имеют одинаковую ориентацию и со знаком – в противном случаи.

7. Понятие функции, ее свойства, график, способы задания.

Свойства

1)Четность и нечетность

2) Периодичность

3)Моннотонная

4)Ограниченность

Графиком функции- множество точки плоскости с координатами (x;f(x))

Если у€ У ставится в соответствии единств х€ Х такой что f(x)=y то получаем функцию х’= заданую на множестве У со значениями в Х обратную x y=f(x)

7. Элементарные функции. Графики основных элементарных функций.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

многочлен,

рациональная,

степенная,

показательная и логарифмическая,

тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.

я думаю сто хватит если чё вот сслыка ссайта http://www.calc.ru/103.html

7. Обратная функция. Сложная функция Неявно заданная функция, параметрический заданная функция.

8. Различные виду уравнений прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Уравнение линии на плоскости наз. уравнение относительно переменных х и у которому удовлетворяет координаты любой точки данной линии. Уравнением линии на плоскости в декартовых прямоугольных координатах F(x,y)=0

Точки пересечением двух линий F1 (x,y), F2 (x,y)=0 находим из системы уравнений если системы не имеет решений то точек пересечений нет.

Виды уравнение прямой на плоскасти

1)y=kx +b-уравнение прямой с угловым коэфициэнтом где k- угловой коэфициэнт b-отрезок отсекаемыый ею на оси OY k=tg

2)Ax+By+C=0 общее уравнение прямой A и B одновременно нулю не обращаются

3)–уравнеение прямой в отрезках где a и b длины отрезков отсекаемых на осях координат взятые с соответствующим законом

4)уравнение прямой с угловым коэфициэнтом K и проходяшим через данную точку ()

5)-уравнение прямой проходящее через две данные точки

Растояние от точки прямой наз.длина пенпердикуляра опущеного из этой точки на данную прямую

7. Кривые 2-го порядка: канонические уравнения, основные характеристики, изображение кривых.

Кривыми второго порядка наз. линии уравнения которых могут быть записаны следующим образом

Где A,B,C,D,E,F –действительные числа которые наз. коэффициентами уравнениями при чем по крайне мере один из коэффициентов A,B,C отличен от 0.

Каноническое уравнение окружности

Если уравнение второй степени второй степени

Определяет не которую линию то это линия окружности а данное уравнение приводится к каноническому путем дополнение полных квадратов

Эллипс

Эллипсом –наз. Множество всех точек плоскости сумма расстояний от каждой до двух данных точек f1 и f2 (фокусы эллипса) есть величина постоянная

Уравнение Эллипса

Гипербола

Каноническое уравнение

Парабола

Параболой наз. множество точек плоскости равно удалённых от данной точки (наз. фокусом ) и данной прямой (наз. директрисой)

Уравнение

Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса .Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат

7. Уравнение плоскости в пространстве. Взаимно расположенные плоскости. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.

F(x,y,z)=0 – уравнение поверхности в пространстве

Уравнение плоскости проходящей через данную точку m0(x0,y0,z0) Перпендикулярно данному вектору (a,b,c)

Угол между двумя плоскостями

равен углу фи между нормальными векторами к этим плоскостям (а1.в1.с1) 2 (а2.в2.с2)

Параллельность, перпендикулярность совпадение

Ростояние от точки М0(х0,у0,z0) до плоскости

Вычесляется по формуле

Искомое уравнение

7. Уравнение прямой в пространстве.

Направляющим вектором прямой наз. любой нулевой вектор параллельны ей.

-векторная уравнение прямой

- параметрическая уравнении прямой T- параметр (число)

-каноническое уравнение прямой

7. Поверхности 2-го порядка: канонические уравнения, изображение поверхностей.

8. Числовая последовательность. Виды последовательностей. Способы задания.

Числовая последовательность- это функция обозначается где принимает значение (1,2,3 и т.д) определенное на множество натуральных чисел

Каждое значение наз. элементом последовательностей число n- его номером

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов среди которых могут быть равные :

Постоянная последовательность все члены которого равны между собой

Возрастающая (убывающая) последовательность: если является возрастающай (убывающая) функция для

Строго монотонные- возрастающие и убывающие;монотонные – не возрастающие не убывающие

Неубывающее – если каждый элемент начиная со n≥2 не меньше предыдушего

Невозрастающая - ---\\---

Последовательность () наз. ограниченной сверху (снизу если существует число А что ≤ А для любого натурального N

,

Способы задания:

1)Аналитический,

2)табличный

3)Рекурентный-указывается первый элемент и формула для n≥1 позволяет вычислить через

4

7. Пределы числовой последовательности: определение, геометрический смысл, свойство. Число е.

Число a наз. пределом числовой последовательности () если для любого >0 существует номер N что при >N выполняется неравенство

€

Последовательность имеюзщая предел наз. сходящейся у которой нет предела расходящейся

Последовательность( ) и () имеют пределы их суммы разности произведение частного существуют и находятся по формулам

Число е

При увелечении номера n меняется все медленее можно доказать с Бинома Ньютона что это последовательность имеет придел заключенное между числпми 2 и 3 этот придел и наз. числом е

7. Предел функции в точке: определение, геометрический смысл. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах функции.

Теорема 1 (Первая теорема Коши)

Пусть функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, тогда существует точка в которой ƒ(с)=0.

Теорема 2Пусть функция ƒ(x) непрерывна на отрезке [a,b], причем ƒ(a)=A, ƒ(b)=B, где A≠B. Тогда какое бы ни было число С, заключенное между А и B, найдется такая точка , что ƒ(с)=С.

7. Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Замечательный предел.

Свойства бесконечно малых при хфункций аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей.

Теорема 1. Постоянная функция у=с является бесконечно малой при хтогда и только тогда, когда с=0.

Теорема 2. Если (х) — бесконечно малая функция при хи для всех х из некоторого луча [Q,+ ), выполняется неравенство |(x)|| (x)|, то и (х) есть бесконечно малая функция при х .

Теорема 3. Если (х) — бесконечно малая функция при x, то она является ограниченной на некотором луче [М, +).

Эти теоремы мы приводим без доказательств, так как они легко следуют из определения 1.

Теорема 4. Сумма двух бесконечно малых при хфункций также является бесконечно малой при хфункцией.

Теорема 5. Если (х) — бесконечно малая при хфункция, а у=f(х) — ограниченная функция на некотором луче [а, +), то их произведение является бесконечно малой при х функцией.

Следствие 1. Если (х) — бесконечно малая при хфункция, то и с(х), где с — любое действительное число, также является бесконечно малой при хфункцией.

Следствие 2. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) бесконечно малых при хфункций есть бесконечно малая при хфункция.

Следствие 3. Если ₁(х), ₂(х), ..., _n(х)—бесконечно малые при х функции, то и c₁₁(х) + c₂₂(х) + ••• + c_nn(x) (где С₁, ..., С_n — действительные числа) также является бесконечно малой при хфункцией.

или

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

7. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывности функции. Точка разрыва функции.

Определение 1: Функция y=f(x), определенная на интервале (а, в)

называется непрерывной в точке x0(а, в), если

,

т.е. предел функции равен ее значению при предельном значении аргумента.

Определение 2: Функция y=f(x), определенная на интервале (а, в), называются непрерывной, если для любого ε >0δ >0, что для любых х, удовлетворяющих условию.

0<|х-a| < δ,

выполняется:

| f(x) – f(x0) | < ε

Пусть функция y= f(x) определена на интервале (а, в). Если x(а, в),

x0(а, в), то ∆Х=Х-Х0 называется приращением аргумента в точке Х0, а ∆y=f(x)-f(x0) = f(x0 + ∆x)- f(x0) называется приращением функции в той же точке.

y

f(x)=y

f(x0)=y0 ∆y

∆x

0 x0 x x

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке Х0:

1. Доказать, что функция y=x непрерывна при любом Х=Х0

∆y=(x0+∆x)- x0 = x0+∆x-x0=∆x

2. Доказать y = sinx непрерывна при любом х = х0

x

x