15. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае простых процентов.

В случае простых процентов имеем

Отсюда n = 1 + Ti, откуда

Например, при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза за

16. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке I в случае кратного начисления сложных процентов.

При m-кратном начисление процентов за период имеем:

Отсюда

Таким образом, в этом случае имеем точную формулу

Разлагая по степеням i, получим . Следовательно,

17. Решите общую задачу о сроке увеличения вклада в произвольное число раз (n) при данной процентной ставке i в случае непрерывных процентов.

=; ==отсюда lnn=Ti. Следовательно, T=.

Инфляция

18. Выведите формулу Фишера.

Предполагается, что инфляция составляет долю в год, если стоимость товара за год увеличивается в раз. Инфляция уменьшает реальную ставку процента. При инфляции деньги обесцениваются в раз, поэтому реальный эквивалент наращенной за год суммы будет в раза меньше:

В формуле выше мы обозначили через процентную ставку с учетом инфляции (i по-прежнему ставку процента без учета инфляции), для которой получили следующее выражение (Формула Фишера):

19. Темпы инфляции за по­следовательные периоды времени равны соответственно. Найдите темп инфляции за период .

Выражение для темпа инфляции за суммарный период t: в конце 1 периода , а с учетом инфляции ; в конце 2 периода , а с уч. инфл. . Следовательно, в конце n-го периода , а с учетом инфляции. . C другой стороны, при темпе инфляции в конце периода t: . Приравнивая правые части, получ.:. Отсюда

При

Финансовые потоки, ренты

20. Дайте определение и выведите формулу для среднего срока финансового потока.

Средним сроком фин.потока CF{(P₀,t₀),(P₁,t₁), (P₂,t₂),…(P_n,t_n)}

относительно ставки дисконтирования i называют такой момент времени t, для которого PV_t(CF)=P1+P2+…+Pn.

Это означает, что оба потока в момент времени t, имеют одинаковое текущее значение. Т/о:

P1/(1+i)^t1 + P2/(1+i)^t2 +…+Pn/(1+i)^tn = P1+P2+…+Pn/(1+i)^t.

Разлагая (1+i)^-x = 1-xi+[x(x+1)/2] i² + …

Предыдущее равенство до слагаемых второго порядка малости (относительно i) примет вид: P1(1-t₁i)+ … + Pn(1-t_ni) = (P1+P2+…+Pn)(1-ti), отсюда

t =

21. Дайте определение внутренней нормы доходности. Исследуйте зависимость чистого приведенного дохода (NPV) от ставки приведения (принятой нормы доходности) i. Приведите качественный график данной зависимости.

Внутренняя норма доходности (IRR) – это процентная ставка (ставка дисконтирования), при которой чистый приведенный доход NPV обращается в 0. Она определяет максимальную доходность, выраженную в виде годовой процентной ставки, которую может получить инвестор и при которой проект все еще остается выгодным NPV ≥ 0.

Пусть финансовый поток имеет вид:

где K>0 – начальные инвестиции, все платежи , k=1,2,…,n неотрицательны и среди них есть хотя бы один положительный.

Тогда:

При i>-1 NPV (i) является убывающей функцией ставки приведения i.Внутренняя норма доходности служит границей процентных ставок, для которых проект имеет положительную и отрицательную приведенную стоимость: если , то , если ,

NPV

-1

-K

i

22. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения ренты постнумерандо.

Коэффициент приведения ренты постнумерандо:

Сумма членов геометрической прогрессии:

Коэффициент наращения ренты постнумерандо:

=

23. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения ренты пренумерандо.

Рента пренумерандо – рента, у которой платежи производятся вначале периода.

Коэффициент приведения ренты пренумерандо:

Сумма членов геометрической прогрессии:

Коэффициент наращения ренты пренумерандо:

24. Выведите формулы для коэффициентов приведения и наращения непрерывной ренты.

Коэффициент приведения непрерывной ренты:

При P получим непрерывный поток платежей с постоянной плотностью

Приведенная величина A

Найдем предел при P, используя правило Лопиталя:

отсюда

Коэффициент наращения непрерывной ренты: