11. Залежні і незалежні події, поняття умовної ймовірності

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною.

Ця ймовірність обчислюється за формулою

, .

Аналогічно

, .

12. Формула множення ймовірностей та наслідки з неї

Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій А і В дорівнює добутку ймовірностей кожної з них

Р(А•В)=Р(А)•Р(В)

Ймовірність одночасної появи двох залежних подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша уже відбулася

Р(А•В)=Р(А)•Рᴀ(В)

Узагальнення:

Ймовірність одночасної появи кількох подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність всіх інших при чому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні уже відбулися

Р(Аı Аƨ…Аn)=Р(Аı)•РАı(Аƨ)•…•РАı АƨАn-1(Аn)

13. Ймовірність появи хоча б однієї з подій

Ймовірність появи хоча б однієї з подій Аı Аƨ… Аn незалежних в сукпності дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій

Р(А) = 1 – qⁿ.

14. Формула повної ймовірності

Ймовірність появи події А яка може відбутися лише при умові появи однієї з несумісних подій Вı Вƨ… Вn, які утворюють простір елементарних подій дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А

яка називається формулою повної ймовірності.

Випадкові події В₁, В₂, ... В_n називають гіпотезами.

15. Формули Байєса

Нехай подія А відбулася при появі однієї з гіпотез В₁, В₂, ... В_n завідомо невідомо внаслідок якої.

Формули Байєса дозволяють переоцінити ймовірність гіпотез після того як стає відомо результат випробування внаслідок якого відбулася подія А

Згідно з формулою Байєса можна прийняти рішення, провівши експеримент. Але для цього необхідно, аби вибір тієї чи іншої гіпотези мав ґрунтовні підстави, тобто щоб унаслідок проведення експерименту ймовірність Р(В_і / А) була близька до одиниці.

16. Основні поняття повторних незалежних випробувань

Якщо усі n випробувань проводити в однакових умовах, і ймовірність появи події А в усіх випробуваннях однакова та не залежить від появи або не появи події А в інших випробуваннях та таку послідовність незалежних подій називають Схемою Бернуллі

17. Формула Бернуллі та наслідки з неї

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з’явиться m раз, подається у вигляді

.

Наслідки:

1) Ймовірність появи події А в n незалежних випробуваннях схеми Бернуллі, менше m разів, знаходиться за формулою

Рn(k<m)=Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(m-1)

2) Ймовірність появи події А хоча б 1 раз у n випробуваннях знаходиться за формулою

Pn(0<m≤n)=Pn(1)+Pn(2)+…+Pn(n)=1- qⁿ

3) Ймовірність появи події А більше m раз знаходиться за формулою

Pn(m<k)=Pn(m+1)+Pn(m+2)+…+Pn(k)

4) Ймовірність появи події А не більше m раз знаходиться за формулою

Pn(k<m)=Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(m)