§ 9,2. Теория инвариантности и комбинированное управление

Одним из способов, позволяющих получить высокую точность в системах автоматического регулирования, является использование методов так назы­ваемой теории инвариантности [74, 129]. Система автоматического регули­рования является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка системы не зависят от этого воздействия. Система автоматического регулирования является инвариант­ной по отношению к задающему воздействию, если после завершения пере­ходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка системы не зависит от этого воздействия.

Оба этих понятия имеют общую математическую трактовку. Рассмотрим эту трактовку для случая, когда на систему действует одно входное воздей­ствие — задающее g (t) или возмущающее / (2). Пусть для ошибки системы регулирования имеет место дифференциальное уравнение

9.26

Где ψ(е) — задающее или возмущающее воздействие, а . Решение этого уравнения имеет две составляющие — переходную x_П (t) и вынужденную x_В {t). Переходная составляющая определяется общим реше­нием уравнения (9.26) без правой части, а вынужденная — частным решени­ем уравнения (9.26) с правой частью.

Изображение ошибки х (t) при нулевых начальных условиях можно представить в следующем виде:

, ,

Где

,

Здесь введено также изображение функции времени ψ{t), представляю­щее собой дробно-рациональную функцию комплексной величины р = с + jω.

,

В соответствии с теоремой разложения (см. § 7,4) оригинал (9.27) в случае отсутствия кратных корней может быть представлен в виде:

,

где р_к — полюсы передаточной функции, т. е. корни уравнения D (р) = О, a pi — полюсы входного воздействия, г. в. корни уравнения В (р) = 0.

Вынужденная составляющая x_в (t) будет тождественно равна нулю в следующих случаях.

1. Если A (р) = 0, то х_& (t) ≡ 0. Этот случай является тривиальным, так как соответствует отсутствию входного воздействия, и он не представляет интереса.

2. Если Q {р) — 0, то также х_Б (t) ≡ 0. Этот случай соответствует абсо­лютной инвариантности системы по отношению к входному воздействию ψ(t), которое может быть любой функцией времени, т. е. меняться по произволь­ному закону.

В следящих системах при рассмотрении задающего воздействия условие Q (p) = 0 означает, что равна нулю передаточная функция по ошибке: Ф_x (р )= 0. В иной записи это означает равенство единице передаточной функции замкнутой системы: Ф (р) = 1 -- Ф_х (р) = 1, Это условие приводит к тому, что следящая система должна иметь бесконечную полосу пропуска­ния, так как частотная передаточная функция замкнутой системы Ф (jω) = i при всех частотах 0 < ω < ∞. В реальных системах реализовать бесконеч­ную полосу пропускания невозможно, поэтому реализация абсолютной инвариантности по задающему воздействию сталкивается с принципиаль­ными трудностями.

Заметим, что в случае, когда следящая система должна воспроизводить задающее воздействие в некотором масштабе к, условие абсолютной инва­риантности запишется в виде Ф (р) = к. Однако это не меняет существа дела.

При рассмотрении возмущающего воздействия условие Q (р) = 0 озна­чает равенство нулю передаточной функции по возмущающему воздействию: Ф_F (р) =; 0. Здесь в принципе возможно получение абсолютной инвариант­ности по данному возмущению, однако в большинстве случаев приходятся иметь дело со значительными техническими трудностями.

3. Равенство нулю вынужденной составляющей будет наблюдаться для таких входных функций, изображения которых имеют все полюсы, т. е. все корни уравнения В (р) = 0, совпадающие с нулями передаточной функ­ции, т.е. с корнями уравнения Q (р) = 0. В этом случае после разложения на множители полиномов В{р) и Q (р) можно сократить одинаковые сомно­жители вида (р — р_i) в числителе и знаменателе изображения (9.27). В ре­зультате второе слагаемое в выражении (9.29) обращается в нуль и х_В (t) ≡ 0.

Этот случай соответствует частичной инвариантности. Система будет инвариантна к входным воздействиям определенного вида, например к воз­действиям, которые могут быть представлены в виде степенной функции времени с положительными и ограниченными степенями, в виде суммы экспо­нент с заданными постоянными времени и т. п..

Вводится также понятие инвариантности системы по отношению к ка­кому-либо входному воздействию с точностью до е. Здесь имеется в виду не тождественное равенство нулю вынужденной составляющей ошибки x_В{t), а приближенное равенство, мерой выполнения которого является некоторая величина е. Для оценки выполнения инвариантности до е суще­ствуют различные критерии, сливающиеся практически с критериями точ­ности систем регулирования, рассмотренными в главе 8.

Основным методам, используемым при построении инвариантных систем, является применение так называемого комбинированного управления.

Комбинированное управление. Под комбинированным управлением или регулированием понимается такой метод построения замкнутых автомати­ческих систем, когда, наряду с регулированием по отклонению или ошибке, используется регулирование по задающе­му или возмущающему воздействию. Та­ким образом, в системе комбинирован­ного управления осуществляется регу­лирование по замкнутому и разомкну­тому циклам.

Рассмотрим вначале случай, когда дополнительно к регулированию по от­клонению х {t) используется регулирова­ние по задающему воздействию g (t). Струк­турная схема такой системы изображена на рис. 9.10, а.

В случае отсутствия регулирования по задающему воздействию, т. е. при Ф (р) = 0, регулируемая величина у связана с задающим воздействием g через передаточную функцию замкнутой системы,

,

Где W(p) – передаточная функция разомкнутой системы.

При введении регулирования по задающему воздействию регулируемая" величина определяется выражением

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом регулирования по задающему воздействию:

,

Из последнего выражения видно, в частности, что введение регулирова­ния по задающему воздействию не меняет характеристического уравнения системы, работающей по отклонению, так как знаменатель передаточной функции замкнутой системы одинаков в (9.30) и (9.32). Это обстоятельство является замечательным свойством систем комбинированного регулирования.

Введение дополнительного регулирования по задающему воздействию не меняет левой части дифференциального уравнения. Это означает что не будут нарушаться не только условия устойчивости, но сохранятся оценив качества переходного процесса, базирующиеся на использовании корней характеристического уравнения.

Из выражения (9.32) по известным, соотношениям (5.19) и (5.26) могут быть найдены эквивалентная (т. е. с учётом регулирования по задающему воздействию), передаточная функция по ошибке.

и передаточная функция разомкнутой системы

Переход к эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы W$ (р) позволяет заменить структурную схему системы комбинированного управления эквивалентной ей обычной схемой системы регулирования,. работающей но отклонению (рис. 9.10* 6).

Из формулы (9,33) для передаточной функции по ошибке можно» найти условие полной инвариантности системы регулирования. Положив Фхэ (р) = O получаем:

9.35

Разложив последнее выражение в ряд по возрастающим степеням опера­тора, получим необходимый вид функции, определяющей вводимый сигнал от управляющего воздействия:

9.36

Где a₀ - безразмерное число.

Этот ряд может быть конечным и бесконечным. Первое слагаемое (9.36) в астатических системах и в большинстве статических систем (см. следующий параграф) оказывается равным нулю. Это не распространяется на случай ис­пользования комбинированного управ­ления по возмущающему воздействию, где практически всегда получается a ≠ 0.

Таким образом» при введении регу­лирования по задающему воздействию для получения полной инвариантности необходимо вводить первую и высшие про- ■-, извод ныв от задающего воздействия.

Обычно точно можно ввести только в некоторых случаях первую произ­водную, а все последующие производные могут быть получены приближенно при помощи использования известных дифференцирующих звеньев (см.» например, рис. 4.23 и 4.24). Поэтому практически может быть получена не полная, а частичная инвариантность. Это соответствует введению огра­ниченного числа первых членов разложения: (9.36).

Так, например, введением первой производной от задающего воздей­ствия в системе с астатизмом первого порядка можно получить равной нулю скоростную ошибку, г. е. повысить степень астатизма относительно задаю­щего воздействия па единицу. Вводя первую и вторую производные (даже приближенно), можно повысить степень астатизма на два и т. д. Это дает обращение в нуль соответствующих коэффициентов ошибки (8.20),

В некоторых случаях сигнал по задающему воздействию может вводиться, но непосредственно на вход системы, как это показано на рис. 9.10, а в неко­торую точку внутри канала регулирования (рис. 9.11),

В этом, более общем, случае эквивалентная передаточная функция замк­нутой системы будет иметь вид.

9.37

Эквивалентная передаточная функция по ошибке:

9.38

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы:

Условие полной инвариантности

В качестве примера рассмотрим следящую систему (см. рис. 6.4) при введении регулирования по первой производной от угла поворота командной.

оси, которое осуществляется при помощи тахогенератора. Электромеханиче­ская и структурная схемы для этого случая изображены на рис. 9.12.

В соответствии с общим случаем, изображенным на рис. 9.11, имеем:

, , .

Эквивалентная передаточная функция замкнутой, системы (9.37)

,

Где - постоянная времени цепи первой производной от угла поворота командной оси.

Эквивалентная передаточная функция по ошибке (9.38)

.

Скоростная ошибка будет равна нулю в том случае, когда в числителе последнего выражения будет равен нулю коэффициент при операторе в пер­вой степени. Отсюда получаем условие частичной инвариантности (ликвида­ция скоростной ошибки):

,

Из (9.39) можно найти эквивалентную передаточную функцию разом­кнутой системы:

При выполнении условия (9.41) эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы будет соответствовать астатизму второго порядка:

Где - добротность системы по ускорению, -эквивалентная постоянная времени.

В качестве второго примера рассмотрим инерциальную вертикаль (рис. 9.13, а). Принцип работы ее заключается в том, что акселерометр Л воспринимает ускорение перемещения подвижного объекта, на котором установлена стабилизированная платформа (СЛ), и составляющую ускорения силы тяжести, возникающую при наклоне этой платфор­мы на некоторый угол а (ошибка вертикали). Таким образом, акселерометр оп­ределяет ускорение

9.42

Где g – ускорение силы тяжести, R – радиус Земли.σ₁ - путь пройденный объектом по Земле в дуговых единицах. Это ускорение дважды интегрируется и поступает па стабилизированную плат­форму, которая поворачивается на угол

9.43

где k₁ и к₂. — коэффициенты передачи первого и второго интеграторов. К зтим двум уравнениям необходимо добавить связь между ошибкой вертикали а, пройденным путем в дуговых единицах σ₁ и углом поворота стабилизированной платформы σ₂.

9.44

Для рассмотренных уравнений (9.42) — (9.44) инерциальной вертикали изобразим структурную схему (рис, 9.13,6). Сравнивая ее с рис. 9.11, можем записать:

, 9.45

, 9.46

, 9.47

Условие полной инвариантности (9.40):

,

откуда следует, что должно быть выполнено равенство передаточная функция разомкнутой системы. Тогда передаточная функция разомкнутой системы:

. 9.48

а передаточная функция по ошибке будет тождественно равна нулю: Ф_ХЗ (p) = 0. Следовательно, при любых движениях объекта, на котором установлена инерциальная вертикаль, ошибка вертикали будет равна нулю. Это будет справедливым в том случае, если выполнены нулевые начальные условия, т. е. отсутствует свободное движение вертикали под действием начальных условий, ив случае, когда можно считать, что достаточно точно

выполняется требуемое условие . Заметим, что в рассмотренном случае особенно важно иметь нулевые начальные условия вследствие того, что передаточной функции (9.48) соот­ветствует характеристическое уравнение.

. 9.49

Оно имеет чисто мнимые корни:

9.50

где Ω₀ — частота незатухающих колебаний инерциальной вертикали, которой соответ­ствуй период Т ≈ 84,6 мин, называемый периодом Шулера. При наличии ненулевых начальных условии в системе будут устанавливаться незатухающие колебания с частотой Ω₀, что бу­дет нарушать работу вертикали. Комбинированное управление может быть использовано также для сни­жения ошибки от возмущающего воздействия (рис. 9.14). В этом случае наряду с регулированием по отклонению х (t) используется регулирование по возмущающему воздействию f(t). Передаточная функция по возмущению здесь будет иметь вид:

, 9.51

Где W_F — передаточная функция по данному возмущению в разомкнутой системе, W (р) — передаточная функция разомкнутой системы. Условие полной инвариантности может быть получено, если положить Ф_F (р) = 0- Тогда:

, 9.52

Эта функция также может быть представлена в виде ряда, аналогично формуле (9.36):

, 9.53

Где a₀ - безразмерное число (1 или 0), a k_F — некоторый коэффициент, размерность которого совпадает с размерностью передаточной функции. Как и в случае использования регулирования но задающему воздействию получение полной инвариантности затрудняется необходимостью вводить первую и более высокие производные от возмущения / (I). Поэтому используется, как правило, частичная инвариантность, получающаяся при реализации в системе регулирования первых членов разложения (9.53). Это в свою очередь дает обращение в нуль соответствующих первых коэффи­циентов ошибки но возмущению (с₀, с_и с₂ и т. д.).

Б заключение заметим, что возможно использование комбинированных систем с введением регулирования ио нескольким возмущающим воздействи­ям и получением полной или частичной инвариантности по каждому из них. Однако это приводит, конечно, к усложнению схемы.