- •2. Принципы автоматического управления
- •3. Классификация автоматических систем
- •Элементы автоматических систем
- •1. Функциональная схема
- •2. Измерительные устройства
- •2. Анализ типовых звеньев
- •1.Структурная схема автоматической системы
- •2. Передаточные функции и частотные характеристики типовых соединений звеньев
- •§ 5.4. Использование структурных схем и графов
- •Правила преобразования структурных схем н линейных систем
- •3. Передаточные функции
- •4. Статические и астатические системы
- •§ 7.1. Общие соображения
- •§ 7.2. Непосредственное решение исходного дифференциального уравнения.
- •§ 7.4. Использование преобразований Фурье, Лапласа и Карсона — Хевисайда
- •5. Вычисление установившейся ошибки автоматической системы
- •6. Ошибки от задающих воздействий
- •7. Коэффициенты ошибки
- •8. Ошибки влияния возмущения
- •Критерии устойчивости
- •§ 6.1. Понятие об устойчивости систем регулирования
- •§ 6.2. Критерий устойчивости Гурвица
- •§ 6.3. Критерий устойчивости Михайлова
- •§ 9.1. Общие методы
- •§ 9,2. Теория инвариантности и комбинированное управление
- •§ 5.3. Законы регулирования
5. Вычисление установившейся ошибки автоматической системы
Теория автоматического управления рассматривает автоматические системы в информационном плане, т. е. с точки зрения передачи и преобразования сигналов. Поэтому вполне естественно возникает вопрос: с какой точностью передаются эти сигналы? В частности, нас будет интересовать точность воспроизведения задающего воздействия, а именно: с какой степенью точности выполняется основное условие хвых(t) =хвх(t). Кроме того, необходимо определить ошибки, вызванные возмущением f (t). Ошибка системы по задающему воздействию:
а по возмущению:
т. е. ошибка системы от возмущения численно равна изменению регулируемой величины под влиянием этого возмущения (при отсутствии задающего воздействия).
Ввиду наличия переходных процессов текущее значение ошибки резко меняется и не может служить мерой точности автоматических систем. По этому условились точность автоматических систем оценивать величиной установившейся ошибки, которая имеет место в устойчивой системе после завершения переходного процесса.
Итак, нам необходимо установить, во-первых, как вычисляются установившиеся ошибки и, во-вторых, какие факторы влияют на эти ошибки. Обе задачи будем решать параллельно. Предварительно отметим, что установившаяся ошибка вычисляется для значения времени , т. е.
Величину установившейся ошибки можно найти из дифференциального уравнения системы, однако ее значительно удобнее вычислять при помощи передаточной функции ошибки . Действительно, по определению,
Следовательно,
Данная формула позволяет найти изображение ошибки. Для того чтобы найти ошибку как функцию времени, необходимо сделать обратное преобразование Лапласа:
,
откуда можно определить установившуюся ошибку, положив .
Однако данный способ вычисления не рационален, поскольку мы вначале находим ошибку как функцию времени и затем вычисляем ее значение для одной лишь точки . А нельзя ли сразу по известному изображению найти , минуя промежуточный этап определения ? Оказывается, можно и притом весьма просто! Для этого применим теорему операционного исчисления о конечном значении функции. Эта теорема говорит о том, что если известно изображение функции , то конечное значение оригинала можно вычислить по формуле
Применяя эту формулу для решения нашей задачи, получаем
(132)
Формула (132) позволяет вычислить установившуюся ошибку по задающему воздействию . Для определения установившейся ошибки от возмущения f (t) надо воспользоваться зависимостью
, (133)
где — передаточная функция по возмущению.
Таким образом, из формул (132) и (133) следует, что точность автоматических систем зависит, во-первых, от внешнего воздействия или f (t) и, во-вторых, от свойств автоматической системы, отображаемых передаточной Функцией или .
В общем случае как задающее, так и возмущающее воздействие является сложной функцией времени, при которой вычисление ошибок значительно усложняется и даже становится невозможным. Как же выйти из этого положения? Заменим реальные воздействия типовыми, т. е. достаточно простыми для того, чтобы можно было определить ошибки. Но какое мы имеем право сложные реальные воздействия заменять простыми? Во-первых, внешние воздействия у некоторых систем близки к типовым, и, во-вторых, при проектировании автоматических систем необходимо сравнить между собой различные варианты и выбрать лучший.
Это удобно сделать при типовых воздействиях, в качестве которых применяют ступенчатую , линейную и квадратичную функции. Можно применять и более сложные воздействия.
Все эти воздействия просто выражаются при помощи формул; их значения можно точно вычислить для любого момента времени, ввиду чего они называются детерминированными, или регулярными.
Однако внешние воздействия часто являются случайными функциями времени. Тогда для оценки точности автоматических систем применяют статистические методы, что мы рассматривать не будем.