Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Основные понятия автоматики.doc
Скачиваний:
32
Добавлен:
21.12.2018
Размер:
6.55 Mб
Скачать

5. Вычисление установившейся ошибки автоматической системы

Теория автоматического управления рассматривает автоматические системы в информационном плане, т. е. с точки зрения передачи и преобразования сигна­лов. Поэтому вполне естественно возникает вопрос: с какой точностью переда­ются эти сигналы? В частности, нас будет интересовать точность воспроизве­дения задающего воздействия, а именно: с какой степенью точности выполня­ется основное условие хвых(t) вх(t). Кроме того, необходимо определить ошибки, вызванные возмущением f (t). Ошибка системы по задающему воздей­ствию:

а по возмущению:

т. е. ошибка системы от возмущения численно равна изменению регулируемой величины под влиянием этого возмущения (при отсутствии задающего воздей­ствия).

Ввиду наличия переходных процессов текущее значение ошибки резко меняется и не может служить мерой точности автоматических систем. По этому условились точность автоматических систем оценивать величиной установившейся ошибки, которая имеет место в устойчивой системе после заверше­ния переходного процесса.

Итак, нам необходимо установить, во-первых, как вычисляются установив­шиеся ошибки и, во-вторых, какие факторы влияют на эти ошибки. Обе задачи будем решать параллельно. Предварительно отметим, что установившаяся ошибка вычисляется для значения времени , т. е.

Величину установившейся ошибки можно найти из дифференциального уравнения системы, однако ее значительно удобнее вычислять при помощи передаточной функции ошибки . Действительно, по определению,

Следовательно,

Данная формула позволяет найти изображение ошибки. Для того чтобы найти ошибку как функцию времени, необходимо сделать обратное преобразование Лапласа:

,

откуда можно определить установившуюся ошибку, положив .

Однако данный способ вычисления не рационален, поскольку мы вна­чале находим ошибку как функцию времени и затем вычисляем ее значение для одной лишь точки . А нельзя ли сразу по известному изображению найти , минуя промежуточный этап определения ? Оказывае­тся, можно и притом весьма просто! Для этого применим теорему операцион­ного исчисления о конечном значении функции. Эта теорема говорит о том, что если известно изображение функции , то конечное значение оригинала можно вычислить по формуле

Применяя эту формулу для решения нашей задачи, получаем

(132)

Формула (132) позволяет вычислить установившуюся ошибку по задающе­му воздействию . Для определения установившейся ошибки от возмуще­ния f (t) надо воспользоваться зависимостью

, (133)

где — передаточная функция по возмущению.

Таким образом, из формул (132) и (133) следует, что точность автоматических систем зависит, во-первых, от внешнего воздействия или f (t) и, во-вторых, от свойств автоматической системы, отображаемых передаточной Функцией или .

В общем случае как задающее, так и возмущающее воздействие является сложной функцией времени, при которой вычисление ошибок значительно усложняется и даже становится невозможным. Как же выйти из этого поло­жения? Заменим реальные воздействия типовыми, т. е. достаточно простыми для того, чтобы можно было определить ошибки. Но какое мы имеем право слож­ные реальные воздействия заменять простыми? Во-первых, внешние воздейст­вия у некоторых систем близки к типовым, и, во-вторых, при проектировании автоматических систем необходимо сравнить между собой различные варианты и выбрать лучший.

Это удобно сделать при типовых воздействиях, в каче­стве которых применяют ступенчатую , линейную и квадратичную функции. Можно применять и более сложные воздействия.

Все эти воздействия просто выражаются при помощи формул; их значения можно точно вычислить для любого момента времени, ввиду чего они называю­тся детерминированными, или регулярными.

Однако внешние воздействия часто являются случайными функциями вре­мени. Тогда для оценки точности автоматических систем применяют статисти­ческие методы, что мы рассматривать не будем.