3.8. Метод Адамса

Сейчас приступим к рассмотрению многошаговых методов, т.е. методов, в которых требуется знание приближенного решения для нескольких начальных значений аргумента.

Будем искать решение по методу Адамса (или метода АдамсаБашфорта) уравнения [14]

(3.68)

на отрезке , удовлетворяющее начальному условию: при .

Обозначим

.

Приближенные значения решения в точках

будут

.

Через

обозначим приближенные значения производных. Аналогично конечным разностям функции (гл.1, п.1.2) определим конечные разности производных первого порядка

, , , ,

вторые разности производных

, , ,

и т.д.

Таким образом, несколько изменив обозначения, можно составить таблицу разностей производных (табл. 12), аналогичной табл. 3.

Напишем формулу Тейлора для решения уравнения в окрестности точки :

. (3.69)

Таблица 12. Конечные разности производных

(К выводу формулы метода Адамса)

. (3.80)

Полученное выражение называется формулой Адамса с четырьмя членами. Данная формула позволяет, зная , , , определить . Поэтому, зная , , и , мы можем вычислить и далее ,

Замечания к методу Адамса.

Замечание 1. Укажем без доказательства, что если существует единственное решение уравнения (3.68) на отрезке , удовлетворяющее начальным условиям, то погрешность приближенных значений, определенных по формуле (3.80), по абсолютной величине не превосходит , где M  постоянная, зависящая от длины интервала и вида функции и не зависящая от величины h.

Замечание 2. Если необходимо получить более высокую точность вычисления, то следует брать больше, чем в разложении (3.73), членов, и формула (3.80) соответствующим образом изменится. Например, если вместо формулы (3.73) мы возьмем формулу, содержащую справа пять членов, т.е. дополним членом порядка , то вместо формулы (3.80) аналогичным путем получим формулу

. (3.81)

В литературе встречается другая запись формулы Адамса:

, (3.82)

где

.

В (3.81) и (3.82) определяется через значения , , ,.

Таким образом, чтобы начать вычисления по формуле (3.81) или (3.82), нужно знать четыре первых значений решения: , , и . При вычислении этих значений по формулам типа (3.71) следует брать уже пять членов разложения (3.69). Дальнейшие значения (i = 4, 5, …) искомого решения можно шаг за шагом вычислить по формулам (3.81) или (3.82). Для этого случая вычислительная схема представлена в табл. 12, а (сравнить с табл. 12).

В табл. 12, а ниже ломаной располагаются величины, которые последовательно определяются на основе вычислений по формуле (3.81).

В практике вычислений применяются формулы с разностями четвертого порядка (для этого к формуле (3.81) нужно присоединить член ), а более сложные формулы, куда входят разности пятого и более высоких порядков, обычно не используются.

Таблица 12, а. К методу Адамса с разностями третьего порядка

Пример 18. Найти приближенные значения решения уравнения

,

удовлетворяющего начальному условию:

при .

Значения решения определить при x = 0,1; 0,2; 0,3; 0,4.

Решение. Воспользуемся формулой (3.80), поэтому необходимо знать первые три значения функции, т.е. остается вычислить и . Из уравнения и начальных данных получаем

.

Дифференцируя исходное уравнение, получим:

.

Следовательно,

.

Дифференцируем еще раз:

.

Следовательно,

.

Подставляя в равенство (3.71) значения , , и h = 0.1, получим:

По формуле (3.72) вычисляем:

.

Теперь мы сможем вычислить следующие величины:

;

;

;

;

;

.

Полученные величины представим в табличном виде (табл. 13).

По формуле (3.80) находим (результаты дальнейших вычислений в табл. 13 выделены жирным шрифтом):

Таблица 13. К примеру 18

x	y
=0	= 1,0000	= 1,0000
			= 0,2103
=0,1	= 1,1103	= 1,2103		=0,0221
			= 0,2324
=0,2	= 1,2427	= 1,4427		=0,0244
			= 0,2568
=0,3	= 1,3995	= 1,6995
=0,4	= 1,5833

.

Далее находим значения , , .

Снова по формуле (3.80) находим :

.

Точное решение данного уравнения (см. примеры 8, 15, 16):

.

Поэтому =1,58364. Таким образом, абсолютная погрешность составляет 0.0003; относительная погрешность = 0,02 (Для сравнения абсолютная погрешность значения , вычисленного по методу Эйлера, составляет 0,6, а относительная погрешность  0,038, т.е. = 3,8.)