Аналогично определяем отрезки , , …

Как видно из рис. 9, решение по методу Эйлера представляет собой ломаную . . . (так называемая ломаная Эйлера). Звенья этой ломаной в каждой вершине имеют направление , совпадающее с направлением интегральной кривой уравнения (3.40), проходящей через точку .

Из рис. 9 также видно, в методе Эйлера есть только единственное точное решение  это . Для расхождение равняется (  точное решение для ), для расхождение составит (точка на рис. 9 не обозначена), таким образом, расхождение с каждым шагом накапливается.

y

h h h

О

Рис. 9

Замечания к методу Эйлера.

Замечание 1. Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Замечание 2. Доказывается [12], что если правая часть уравнения (3.40) непрерывна, то последовательность ломаных Эйлера при на достаточно малом отрезке равномерно стремится к искомой интегральной кривой .

Замечание 3. Метод Эйлера имеет малую точность: с разложением Тейлора согласуется вплоть до , поэтому для получения большей точности необходимо уменьшить шаг, но это приводит к увеличению объема вычислений.

Замечание 4. Ошибки систематически накапливаются.

Замечание 5. Метод позволяет начать счет при i = 0 по известным начальным значениям.

Замечание 6. В этом методе можно изменить шаг в любой точке в процессе счета, что позволяет строить численные алгоритмы с автоматическим выбором шага.

Замечание 7. Как мы уже отмечали, на рис. 9 кривая , проходящая через точку , есть точное решение задачи Коши. И касательную мы проводим именно к этой кривой. Точка же , полученная в результате решения методом Эйлера, из-за его погрешности принадлежит уже другой интегральной кривой (чтобы не насыщать рис. 9 дополнительными деталями, эта кривая не обозначена). Поэтому касательная в точке проводится уже к этой новой кривой. Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую.

Замечание 8. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.

Пример 13. Методом Эйлера проинтегрировать уравнение

на отрезке [0; 0.1] с шагом h = 0,05, при начальном условии .

Решение. Определяем значение производной при = 0:

.

Теперь по формуле (3.44) вычисляем при х = 0,05

Вычисляем производную при = + h =0 + 0,05 = 0,05:

Искомое значение функции при = + h = 0,05 + 0,05 = 0,1 будет = 1,1050

б) исправленный метод Эйлера. Сначала дадим геометрическую интерпретацию данного метода (рис. 10).

1. Точно так же, как и в обычном методе Эйлера, через точку проводим касательную с угловым коэффициентом и находим точку .

2. К кривой, проходящей через точку , проводим касательную с угловым коэффициентом .

3. Находим среднее значение угловых коэффициентов касательных и : .

4. Проводим через точку прямую с угловым коэффициентом .

5. Через точку проводим прямую , параллельную .

6. Находим точку пересечения прямой , с прямой х = , т.е. точку ; ординату этой точки и принимаем за решение уравнения (3.40) при х = = .

7. Таким же способом получаем решения в точках , , . . .

Основываясь на геометрической интерпретации, получим формулу исправленного метода Эйлера.

Угловые коэффициенты касательных и соответственно равны:

(3.47)

где , поэтому

. (3.48)

На основании (3.47) и (3.48) получаем тангенс угла наклона прямой (а значит, и прямой , так как она по построению параллельна прямой ):

.