3.6. Метод Эйлера

Метод Эйлера является простейшим конечно-разностным численным методом решения задачи Коши. Этот метод относится к так называемым одношаговым методам. Особенность одношаговых методов заключается в следующем.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(3.40)

с начальным условием

. (3.41)

Выбирая достаточно малый шаг h, на оси абсцисс построим систему равноотстоящих точек (узлов)

, (i = 0, 1, 2, . . .). (3.42)

и для каждой точки получим решение уравнения (3.40)  .

Такое решение можно получить различными способами.

В том случае, если будем находить решения уравнения (3.40) в точках так, что для каждого нового значения достаточно знать значение функции лишь в предыдущем узле, т.е. достаточно знать значение лишь у , то такой способ нахождения значений в узлах и будет называться одношаговым методом.

Теперь рассмотрим, в чем заключается метод Эйлера. Вообще-то говоря, под этим названием объединяют несколько методов: собственно сам метод Эйлера (иногда в литературе встречается название обычный метод Эйлера) и его модификации.

а) обычный метод Эйлера. Пусть дано дифференциальное уравнение (3.40) с начальным условием (3.41). Разложим искомую функцию в ряд Тейлора в окрестностях узлов , в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков, т.е.

; (3.43)

т.к. в нашем случае , то (3.43), после отбрасывания члена и используя очевидные обозначения, запишется так:

.

Но исходя из (3.40), , поэтому окончательно

. (3.44)

Рекуррентные формулы (3.44) есть алгоритм метода Эйлера. Как видим, по этим формулам значение сеточной функции в любом узле вычисляется по ее значению в предыдущем узле . (Читатель должен ясно представить себе, что в результате применения выражения (3.44) мы получаем дискретные значения искомой функции для дискретных значений , а не аналитическую зависимость, даже хотя бы приближенное, как это мы делали в параграфе 3.4. Поэтому результатом решения по методу Эйлера будет табличное представление искомой функции. Обратим внимание читателя также на то, что в выражении (3.44) производные вычислять не надо.)

Рассмотрим ход вычисления по формуле (3.44). Очевидно, вычисление с применением (3.44) можно начинать с любого известного значения , в том числе и с начального. Поэтому положим i = 0, тогда значение определится так:

. (3.45)

В правой части этого выражения все величины известны: заданы по условию (2),  правая часть уравнения (3.40), вычисленная при , а величину h мы задаем сами.

Аналогично

, (3.46)

и так как , а  известная величина, вычисленная через (3.45), в правой части выражения опять получаем известную величину. Точно так же можно получить значение для , и этот процесс можно продолжить и дальше.

Теперь дадим геометрическую интерпретацию метода Эйлера (рис. 9). На рис. 9 кривая изображает искомую функцию; точка соответствует начальному условию (3.41).

Обратимся к выражению (3.45). Смысл его состоит в том, что для получения значения искомой функции в точке мы должны к начальному значению прибавить величину , но последняя величина есть, с другой стороны, (т.е. отрезок), где  угол наклона касательной к искомой кривой в точке ( рис. 9). Исходя из этого, выражение (3.45) геометрически означает, что мы получаем отрезок = О+. Это осуществляется следующим образом. Точка на искомой кривой нам известна из начальных условий. Проведем через нее касательную к кривой , тангенс угла наклона которой к оси абсцисс определяется как , до пересечения с прямой . Тем самым мы получаем точку , расстояние которой от оси абсцисс равняется длине отрезка .

Чтобы получить отрезок , обратимся к (3.46). За отправную точку берем и проводим из нее касательную , тангенс угла наклона которой равен , до пересечения с ординатой .