Дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения Уравнения с

частными

производными

Задача Краевая

Коши задача

Аналити-

Решение Решение ческое

Графичес- Аналити- Прибли- Численное Численное

кое ческое женное

Метод Решение Методы

Тейлора в аналити- конечных

ческом виде разностей

Решение Методы Метод

в аналити- конечных коллока-

ческом виде разностей ции Приведе- Прямые

ние к за- методы

дачам

Метод Одно- Много- Коши

Пикара шаговые шаговые

методы методы

Метод Метод

конечных прогонки

Метод Метод Метод разностей

Эйлера Рунге- Адамса

Кутта

Рис. 4.

Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках и , являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

Примеры:

В дальнейшем мы дадим более подробно постановку задачи Коши и краевой задачи.

3.2. Методы решения. Общие положения

Для того чтобы читателю было легче определить место излагаемого метода в общей классификации дифференциальных уравнений, на рис. 4 предлагается схема методов решений.

Графические методы используют геометрические построения.

В дальнейшем мы не будем рассматривать графические методы.

С некоторыми аналитическими методами вы знакомы по курсу дифференциальных уравнений.

Приближенные методы  методы получения аналитических выражений, приближающих искомое частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений. Эти методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

В этой главе мы будем рассматривать численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

Все численные методы можно разбить на две группы: в одной группе будут методы, при помощи которых решение получается как функция от непрерывных значений аргумента, т.е. решение получают в виде аналитического выражения (в качестве примеров рассматриваются метод Пикара и метод коллокации), к другой группе относятся методы, дающие решение в виде зависимости от дискретных значений аргумента  к ним относятся различные методы конечных разностей, которые являются наиболее распространенными и универсальными численными методами решения дифференциальных уравнений. Сущность метода конечных разностей заключается в следующем.

Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией).

Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение, начальные условия и дополнительные условия на границе, называется разностной (или конечно-разностной или шаговой) схемой.

Пусть дано дифференциальное уравнение вида

(k = 1, 2, …, n)

при заданных начальных условиях

(k = 1, 2, …, n).

При применении конечно-разностного метода искомое решение (k = 1, 2, …, n) последовательно строится в системе точек (узлов) (i = 1, 2, …, n), где h  выбранный шаг. Процесс вычислений расчленяется на однообразно повторяющиеся циклы, каждый из которых обеспечивает переход от значения к значению , начиная с начального . Поэтому схема вычислений, вообще говоря, легко программируется и удобна для реализации на компьютерах.

Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Поэтому читатель должен сразу ясно представить себе, что решение с применением конечных разностей получается в виде зависимости искомой функции от дискретных значений аргумента, представляемой в виде таблицы.

Решение разностной задачи [9], в результате которого находятся значения сеточной функции в узлах сетки, приближенно заменяет решение исходной дифференциальной задачи. Однако не всякая разностная схема дает удовлетворительное решение, т.е. получаемые значения сеточной функции не всегда с достаточной точностью аппроксимируют значения искомой функции в узлах сетки. Здесь важную роль играют такие понятия, как устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной схемы.

Под устойчивостью схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от входных данных:

а) коэффициентов уравнений;

б) правых частей;

в) начальных и граничных условий.

Или, другими словами, малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. В противном случае разностная схема называется неустойчивой.

Разностная схема называется корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а также если эта схема устойчива.

В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную дифференциальную задачу, то она сходится. Иными словами, из устойчивости и аппроксимации разностной схемы следует ее сходимость.