Правило трех сигм

Характерное свойство нормального распределения состоит в том, что в интервале [M[Х]  1] находится около 68 % из всех его результатов измерений. В интервале [M[Х]  2] - 95 %. В интервале [M[Х]  3] - 99,73 % (рис. 1.12). Следовательно, почти все результаты измерений лежат в интервале 6 (по три  в каждую сторону от M[Х]). За пределами этого интервала могут находится 0,27 % данных от их общего числа (приблизительно три из тысячи результатов измерений).

Рис. 1.12. Иллюстрация правила трех сигм

Отсюда следует, что если какое-либо значение величины выходит за пределы 3, то с большой вероятностью его можно считать ошибочным.

На основании этого сформулировано правило трех сигм: если при многократных измерениях (n  25…30) одной и той же величины постоянного размера сомнительный результат Х_сомн отдельного измерения (максимальный или минимальный) отличается от среднего значения более чем на 3, то с вероятностью 99,7 % он ошибочен, т.е.

Если  3, (1.12)

то Х_сомн является промахом; его отбрасывают и не учитывают при дальнейшей обработке результатов измерений.

Закон нормального распределения работает при числе результатов измерений n = . В реальности получают конечное число измерений, которые подчиняются закону распределения Стьюдента. При n25 распределение Стьюдента стремится к нормальному.

Точечная и интервальная оценки значения измеряемой физической величины

При измерении, как уже говорилось ранее, невозможно определить истинное значение измеряемой величины. Можно лишь с большей или меньшей уверенностью оценить это значение, рассматривая его условно как параметр нормального распределения. Оценка истинного значения осуществляется по числу результатов n повторных измерений величины. Чем больше n, тем точнее можно оценить истинное значение. Выделяют понятия точечной и интервальной оценок.

Точечная оценка (т.е. оценка в виде числа) истинного значения величины включает в себя оценки M[Х] и . Оценкой M[Х] является среднее арифметическое значение , его вычисляют по формуле

, (1.13)

где Х_i – результат i-го единичного измерения.

Оценкой  является среднее квадратическое отклонение s, его вычисляют по формуле

. (1.14)

Оценки, приведенные в формулах (1.13) и (1.14), являются случайными величинами. Если провести повторное измерение и по его результатам вычислить и s, то их значения будут отличаться от прежних. Повторяя измерения и вычисляя по их результатам и s, можно получить ряд значений и s, которые также являются случайными величинами и подчиняются нормальному закону распределения. Для оценки рассеяния этих распределений используют понятие среднего квадратического отклонения среднего арифметического , являющееся оценкой среднего квадратического отклонения результата измерения. Его определяют по формуле

. (1.15)

Точечные оценки используют в основном в научных исследованиях и разработках, когда проводят большое число измерений. Чем меньше число полученных результатов измерений, тем легче допустить ошибку при оценке параметров распределения. В таком случае важно определить не только M[X] и , но и получить уверенность, что истинное значение находится в некотором доверительном интервале. Для этого проводят интервальную оценку.

Интервальная оценка истинного значения – это доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью Р находится истинное значение измеряемой величины.

Чаще выбирают Р = 0,9, 0,95 и 0,99.

Границы доверительного интервала (рис. 1.13) определяют по формуле

-  Х_ист  + , (1.16)

где  – это доверительная погрешность (доверительная граница случайной погрешности результата измерений).

Рис. 1.13. Доверительный интервал

Достоверность измерений (один из показателей качества результатов) зависит от степени доверия к результату и характеризуется вероятностью того, что истинное значение лежит в указанных доверительных границах.

 определяет наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной доверительной вероятностью находится истинное значение Х_ист результата измерений. Причем Х_ист может быть в любом месте доверительного интервала (не обязательно в его середине), а с вероятностью 1-Р даже вне его.

При большом числе результатов измерений (n25…30) доверительную границу случайной погрешности  вычисляют по формуле

, (1.17)

где z_р – квантиль нормального распределения (квантильный множитель),  - среднее квадратическое отклонение.

Значение квантильного множителя z_р определяют по таблице функции Лапласа при заданной доверительной вероятности Р (табл. 1.4)

Таблица 1.4

Значения квантили нормального распределения z_р

Доверительная вероятность	0,80	0,90	0,95	0,99	0,999
zр	1,28	1,65	1,96	2,58	3,29

Формулу (1.17) используют для определения границ доверительного интервала, если имеется достаточно большое число результатов измерений (более 25) или если на основе предварительных опытов с достаточным числом измерений определено значение  для данного метода.

Чем меньше n, тем менее надежным является определение доверительного интервала приведенным выше способом.

При небольшом числе результатов измерений (n25…30) используют распределение Стьюдента, и доверительную границу случайной погрешности  следует рассчитывать по формуле

(1.18)

где t_p - коэффициент Стьюдента, s – оценка среднего квадратического отклонения

Значение коэффициента Стьюдента t_p определяют при заданной доверительной вероятности Р и числе результатов измерений n по табл. 1.5.