2.26 Мішаний добуток

Змішаний добуток — математична операція над трьома векторами, що визначається як скалярний добуток першого з векторів на векторний добуток двох інших:

Змішаний добуток міняє знак при перестановці будь-яких векторів місцями:

Однак, змішаний добуток не міняє знаку при циклічній перестановці:

Мішаним добутком трьох векторів є число, яке обчислюється як визначник матриці з кординатами:

ax ay a|

bx by bz

cx cy cz

За допомогою мішаного добутку можна обчислити обєм паралелепіпеда побудованого на цих векторах, взятих як сторони паралелепіпеда.

Якщо міш добуток дорівнює 0 – то ці вектори – компланарні.

2.27 Міш добуток, що задані в координатній формі.

Тепер знайдем мішаний добуток векторів в координатній формі. Нехай задані три вектори в координатній формі: Запишемо спочатку векторний добуток векторів і в координатній формі:

Врахуємо, що скалярний добуток векторів рівний сумі добутків відповідних координат цих векторів.

2.28 Геометричні застосування мішаного добутку.

В n-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы n x n, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности: В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

2.29 Умова компланарності векторів

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать на паралельних площинах чи в одній площині. Мішаний добуток трьох векторів дорівнює нулю – вектори компланарні.

Компланарні вектори лінійно залежні. Цснують такі дійсні числа ., що для компланарних векторів а b, c, за віключенням b=0 c=0. Це критерій компланарності.

3.30. Прямокутна декартова система координат

Сучасна Декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальна вісь позначається як x (вісь абсцис), вертикальна як y (вісь ординат). В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z. Всі точки в системі Декартових координат, складають так званий Декартовий простір.

Точка перетину, де осі зустрічаються, називається початком координат та позначається як O. Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy. Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці виміру довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y). В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординаті — позитивні числа).