- •1.8 Поняття рангу матриці.
- •1.11 Матричний запис слар
- •1.12 Розвязуання слар матричним способом
- •2.18 Базис на площині і в просторі. Розкладання вектора за базисом (на площині і в просторі).
- •2.19 Координати вектора. Довжина
- •2.20 Лінійні операції над векторами
- •2.23 Кут між векторами
- •2.24 Векторний добуток. Означення і властивості
- •2.26 Мішаний добуток
- •2.27 Міш добуток, що задані в координатній формі.
- •2.28 Геометричні застосування мішаного добутку.
- •2.29 Умова компланарності векторів
- •3.30. Прямокутна декартова система координат
- •3.31 Пряма на площині.
- •3.38 . Криві другого порядку. Означення, властивості та канонічні рівняння: еліпс; гіпербола; парабола
- •3.39 Площина в просторі.
- •3.40. Рівняння площини в векторній і координатній формі:
- •3.53 Полряні координта точки.
- •3.54. Зв'язок між полярними і декартовими координатами.
- •3.55. Рівняння кривих в полярних координатах. Побудова кривих, що задані рівняннями в полярних координатах
- •3.56 Параметричне задання лінії
- •3.57 Параметричне рівняння кривої на площині і в просторі.
- •3.58. Побудова кривих, що задані параметричними рівняннями на площині.
- •3.60. Канонічні рівняння поверхонь іі порядку:
- •3.61. Дослідження форми цих поверхонь.
3.39 Площина в просторі.
Загальне рівняння площини в тривимірному просторі, яка проходить через точку (x0;y0;z0) перпендикулярно до вектора має виглядA(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0) або Ax+By+Cz=0 Спеціальними площинами є площини OXY (рівняння z=0), OXZ (рівняння y=0) та OYZ (рівняння x=0).
3.40. Рівняння площини в векторній і координатній формі:
Рівняння площини, яка проходить через три задані точки (x0;y0;z0), (x1;y1;z1), (x2;y2;z2) (якщо ці точки не лежать на одній прямій), є таким -що проходить через 3 задані точки;
Симетричне (канонічне) рівняння прямої, що проходить через точку (x0;y0;z0) паралельно до напрямного вектора , має вигляд - через задану точку перпендикулярно до заданого вектора;
Ax+By+C+Dz=0- загальне;
- “ в відрізках по осях”.
3.41 Кут між двома площинами.
Кут між двома площинами дорівнює відношенню скалярного добутку нормальніх векторів цих площин до добутку модулів векторів.
3.42 Умови паралельності і перпендикулярності площин.
Площини паралельні, якщо їх нормальні вектори колінеарні, тобто , або записується у вігляді визначника матриці складеної із координат векторів, що дорівнює нулю.
Площини паралельні, якщо їх нормальні вектори також перпендикулярні. Тобто, кут між площинами дорівнює 90. Тобто: =0
3.43 Пряма в просторі
Канонічне рівняння прямої у просторі: , де l,m,n – суть координати напрямного вектора.
3.44. Рівняння прямої в просторі:
- канонічне;
-параметричне;
-що проходить через 2 задані точки;
-загальне.
3.45 Кут між прямими в просторі.
Кут між двома прямими в просторі визначається як відношення сум добутків координат напрямних векторів до модулів цих векторів:
3.46 Умови паралельності і перпендикулярності
- перпендикулярність
Дві площини паралельні, якщо координати їх напрямніх векторів пропорційні.
3.47 Пряма і площина в просторі.
кут між прямою та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою
Одну і тільки одну площину можна провести через:
пряму і точку, що не належить цій прямій;
дві перетинні прямі;
дві паралельні прямі.
Пряма в просторі може належати безкінечній множині площин.
3.48. Кут між прямою і площиною.
кут між прямою та площиною Ax+By+Cz+D=0 знаходиться за формулою
3.49. Умові паралельності і перпендикулярності прямої і площини.
Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перетинає цю площину і перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині і проходить через точку перетину.
Пряма наз паралельною до площини, якщо вона паралельна до будь-якої прямої, що лежить у площині.
3.50 Перетин прямої і площини.
Будь-яка пряма, що непаралельна площині має точку перетину з площиною. Утворюється кут між прямою і площиною, що визначається де, ABC – координати нормального вектора площини, lmn – координати напрямного вектора прямої.
3.51. Відстань від точки до площини.
де, A, B, C – координати нормального вектора, XoYoZo – координати точки.
3.52 Полярна система координат.
Якщо, координати точки задані радіус-вектором, та кутом між радіусом та віссю ох то така система наз полярною. Полярний кут відраховується проти ходу годинникової стрілки від осі ох.
Радіус-вектор – це вектор, що починається у початку системи координат. Положення точки у полярній системі координат візначається двома значеннями: довжиною радіус-вектора «ро», да кутом повороту «тетта» .