2.18 Базис на площині і в просторі. Розкладання вектора за базисом (на площині і в просторі).

Базисом (дав.-гр. βασις, основа) векторного простору L називається впорядкований набір векторів {e1, …, en} , якщо кожний вектор із L можна однозначно представити у вигляді лінійної комбінації:

Представлення вектора у вигляді лінійної комбінації базисних векторів називається розкладанням вектора по даному базису.

Кількість векторів базису не залежить від вибору базисних векторів і дорівнює розмірності простору і позначається Вектори базису є лінійно незалежними.

2.19 Координати вектора. Довжина

Модулем (довжиною) вектора АВ називається довжина відповідного напрямленого відрізка AB й позначається так .

У евклідовому n-вимірному просторі довжина вектора обчислюється так:Нехай вектор а має координати (x1,x2,...,xn). Тоді В скінченновимірному унітарному векторному просторі розмірності n, кожна ортонормована система із n векторів утворює ортонормований базис. Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

2.20 Лінійні операції над векторами

До лінійних операцій над векторами належить

1) додавання (віднімання) векторів;

2) множення вектора на число (скаляр).

Додавання. Для додавання векторів, визначених у векторному просторі з базисом потрібно додати їхні компоненти.

Скаярний добуток – матем. операція при множенні двох векторів. Обчислюється за формулою: Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів.

2.21 Скалярний добуток – матем. операція при множенні двох векторів. Обчислюється за формулою: Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів.

2.23 Кут між векторами

Кут між векторами. Кут між векторами. Якщо – кут «фі» між векторами а та b, то

Умова перпендикулярності двох векторів. Необхідною та достатньою умовою перпендикулярності двох векторів а та b, як було зазначено вище, є рівність нулю їх скалярного добутку. Із врахуванням (1.5), умова перпендикулярності двох векторів запишеться так:

2.24 Векторний добуток. Означення і властивості

Векторний добуток – це добуток двох векторів, результатом якого є вектор.

Геометричне означення. Векторним добутком є вектор, модуль якого дорівнює площі паралелограма сторони якого є 2 цих вектори, а напрям визначається перпендикуляром до площини паралелограма на зустріч якому можна бачити найкоротше обертання вектора а до b проти ходу годинникової стрілки.

Аглебраїчне означення: Довільний вектор в описується своїми координатами відносно стандартного базису Векторним добутком двох 3-векторів

називається 3-вектор

який також символічно записується у вигляді детермінанту:

Насправді ці формули для векторного добутку виконуються у будь-якому ортонормальному базисі.

Механічне означення: векторний добуток – момент сили відносно полюсу О.

Властивості. Антикомутативність

Білінійність

Тотожність Якобі

На відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи, тощо), векторний добуток не є асоціативним.

Правило паралелограму:

Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограму який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.

Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектору на себе — нульовий вектор.