23.Метод потенциалов

  Циклом в транспортной таблице называется несколько клеток, соединенных замкнутой ломаной линией, которая в каждой клетке совершает поворот на 90 , Знаком " + " отмечают те вершины, в которых перевозки увеличиваются, а знаком "- " - те вершины, в которых перевозки уменьшаются. Перемещение какого-то количества единиц груза по циклу означает увеличение перевозок на это количество единиц в положительных вершинах и уменьшение перевозок на это же количество единиц в отрицательных вершинах. При этом, если перевозки остаются неотрицательными, план остается допустимым. Стоимость плана при этом может меняться. Ценой цикла называется увеличение стоимости перевозок при перемещении единицы груза по этому циклу. Очевидно, цена цикла равна алгебраической сумме стоимостей, стоящих в вершинах цикла, при этом стоимости в положительных вершинах берутся со знаком " +", а стоимости в отрицательных вершинах берутся со знаком " - ". Идея метода потенциалов состоит в следующем. Для любой свободной клетки транспортной таблицы всегда существует единственный цикл, положительная вершина которого лежит в этой свободной клетке, а все остальные - в базисных. Если цена такого цикла отрицательна, то план можно улучшить перемещением перевозок по данному циклу. Количество единиц груза, которое можно переместить, определяется минимальным значением перевозок, стоящих в отрицательных вершинах цикла (если переместить большее число единиц груза, возникнут отрицательные перевозки). Если циклов с отрицательной ценой нет, то это означает, что дальнейшее улучшение плана невозможно, т.е. оптимальный план найден.

Вычислительная схема метода потенциалов

Шаг 1. Строим опорный план (методом северо-западного угла) с

n+m-1   базисными клетками. Шаг 2. Определяем платежи

для всех базисных клеток. Один из платежей (например a1 ) полагаем равньм нулю. Шаг 3. Считаем псевдостоимости для всех свободных клеток. Если

 для всех клеток, то план оптимален. Вычисляем значение целевой функции L на этом плане и исследования прекращаем.                         

Шаг 4. Если есть свободная клетка, для которой то улучшаем план, перебрасывая перевозки по циклу этой свободной клетки. Шаг 5. Возвращаемся к шагу 2 для пересчета платежей нового опорного плана.

24Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Пусть требуется при решении транспортной задачи ограничить перевозки от поставщика с номером l к потребителю с номером k. Возможны ограничения двух типов: 1) ; 2) , где и - постоянные величины.1. если , то необходимо прежде, чем решать задачу, сократить (уменьшить) запросы l-го поставщика и запросы k-го потребителя на оптимальном решении следует увеличить объем перевозки на величину .2. если , то необходимо вместо k-го потребителя с запросами ввести двух других потребителей. Один из них с номером k должен иметь запросы =, а другой с номером n+1 - запросы . Стоимости перевозок для этих потребителей остаются прежними, за исключением стоимости , которая принимается равной сколь угодно большему числу М(М>>1). После получения оптимального решения величины грузов, перевозимых к (n+1)-му потребителю, прибавляются к величинам перевозок k-го потребителя. Так как =М - самая большая стоимость перевозки, то в оптимальном решении клетка с номером (l, n+1) останется пустой, =0 и объем перевозки не превзойдет .В некоторых задачах требуется запретить перевозки от отдельных поставщиков отдельным потребителям. В таких случаях либо зачеркивают клетку таблицы транспортной задачи, либо назначают соответствующую этой клетке стоимость перевозки единицы груза сколь угодно большой, равной М>>1. В остальном задача решается обычным способом. Для разрешимости данной задачи необходимо существование начального опорного решения.

25.Транспортная задача по критерию времени. Задача по критерию времени возникает при перевозке срочных грузов. Как и в обычной транспортной задаче, имеется m поставщиков с запасами однородного груза в количестве и n потребителей, которым этот груз должен быть доставлен в объеме . Известно , i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n - время, за которое груз доставляется от каждого i-го поставщика каждому j-му потребителю. Требуется составить такой план перевозок груза, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и наибольшее время доставки всех грузов является минимальным.Составим математическую модель этой задачи. Обозначим - объем перевозимого груза от i-го поставщика j-му потребителю. Система ограничений задачи не отличается от системы ограничений обычной транспортной задачи. Пусть Х=() i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n - некоторое опорное решение задачи. Запишем целевую функцию задачи. Обозначим через Т(Х) наибольшее значение элементов матрицы Т=(), i=1,2,,...,m, j=1,2,...,n, соответствующих клеткам таблицы, занятым опорным решением: Т(Х)=. Таким образом, за время Т(Х) план перевозок будет выполнен полностью. Математическая модель имеет вид Т(Х)= (26), i=1,2,...,m , (27) , j=1, 2, ... , n, (28), i=1,2,,...,m+1, j=1,2,...,n. (29)Задача решается в следующем порядке. Находится начальное опорное решение Х1. определяется значение целевой функции Т(Х1)==. Все свободные клетки, которым соответствует значения >T(X1), исключаются из рассмотрения (перечеркиваются). Занимать эти клетки нецелесообразно, так как повысится значение целевой функции. Чтобы понизить ее значение, необходимо освободить клетку (l1, k1), в которой достигает максимума. Для этого строят так называемые разгрузочные циклы, которые могут включать в свой состав несколько свободных клеток. В каждом разгрузочном цикле, начиная с разгружаемой клетки (l1, k1), расставляются поочередно знаки "-" и "+" и осуществляется сдвиг на величину =. Если удается эту клетку разгрузить, то она исключается из рассмотрения (зачеркивается). Получается новое опорное решение Х2, на котором значение целевой функции меньше, чем на Х1. далее снова пытаются разгрузить клетку, соответствующую Т(Х2)= =. Процесс продолжается до тех пор, пока возможность разгрузить соответствующую клетку не исчезнет.