- •Программа по курсу «Дискретная математика» для заочной формы обучения
- •Методика рецензирования контрольной работы.
- •Краткие теоретические сведения
- •Множества и операции над ними
- •Бинарные отношения
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение упорядоченности
- •Функции
- •Функции и формулы алгебры логики
- •Двойственные функции и совершенные нормальные формы
- •Принцип двойственности
- •Построение совершенных нормальных форм
- •Полнота и замкнутость систем функций алгебры логики
- •Полные системы функций алгебры логики
- •Важнейшие замкнутые классы
- •Задание к контрольной работе по дискретной математике
- •I. Множества и операции над ними.
- •Варианты контрольных работ Вариант №1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Вариант №8
- •Вариант №9
- •Вариант №10
- •Вариант №11
- •Вариант №12
- •Вариант №13
- •Вариант №14
- •Вариант №15
- •Вариант №16
- •Вариант №17
- •Вариант №18
- •Вариант №19
- •Вариант №20
- •Вариант №21
- •Вариант №22
- •Вариант №23
- •Вариант №24
- •Вариант №25
- •Пример решения контрольной работы
- •Список литературы
- •400131, Волгоград, просп. Им. В.И. Ленина, 28
- •400131, Волгоград, ул. Советская, 35
-
Построение совершенных нормальных форм
Для записи функции, заданной таблицей истинности, в виде формулы вводится параметризация, позволяющая охарактеризовать значение переменной в «энке». Пусть , где – параметр, равный нулю или единице, и характеризующий значение переменной х на наборе. Таким образом, . Т.е. если на наборе значение переменной х равно 0, то пишут «», а в случае, когда соответствующее значение равно 1, то записывают просто «х». Заметим, что х=1 тогда и только тогда, когда х=.
Выражение вида называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ). Из этого определения следует, что для построения СДНФ в таблице истинности функции f надо рассматривать лишь те строки, где функция равна единице. Для каждой такой строки записывается элементарная конъюнкция, состоящая из всех переменных функции. При этом переменная входит в конъюнкцию с отрицанием, если в рассматриваемой строке её значение равно нулю, и без отрицания – в противном случае.
Выражение вида называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ). Из этого определения следует, что для построения СКНФ в таблице истинности функции f надо рассматривать лишь те строки, где функция равна нулю. Для каждой такой строки записывается элементарная дизъюнкция, состоящая из всех переменных функции. При этом переменная входит в дизъюнкцию с отрицанием, если в рассматриваемой строке её значение равно единице, и без отрицания – в противном случае.
Для каждой функции алгебры логики СДНФ и СКНФ записывается единственным образом.
Примеры построения СДНФ и СКНФ.
x |
у |
f(x,у) |
СДНФ |
СКНФ |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
x & y |
|
|
Таблица 6 |
|
|
|
x |
у |
f(x,у) |
СДНФ |
СКНФ |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
x & y |
|
|
Таблица 7 |
|
|
|
Если функция задана формулой, то для построения её СДНФ или СКНФ применяют эквивалентные преобразования заданной формулы.
Пусть функция представлена формулой со связками {, &, }. Тогда для преобразования формулы в совершенную дизъюнктивную нормальную форму необходимо вначале представить формулу в виде – логической суммы логических произведений. Этого можно добиться с помощью законов дистрибутивности или других тождеств. Затем добавить к каждой элементарной конъюнкции (каждому логическому произведению переменных) единичные множители, составленные по закону исключенного третьего из символов тех переменных, которых недостает в данной конъюнкции до полного набора переменных, и далее выполнить преобразования, раскрывая скобки и приводя «подобные члены» по закону идемпотентности.
Например, f(x,y,z)=. Первое слагаемое в формуле преобразуем по закону Де Моргана, во втором слагаемом раскроем скобки с помощью закона дистрибутивности и поменяем местами сомножители, используя закон коммутативности. Тогда f(x,y,z)= – это выражение имеет требуемую форму: логическая сумма логических произведений переменных или их отрицаний, такая форма называется также дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Теперь к каждой элементарной конъюнкции в ДНФ добавим единичный множитель: к первой –, ко второй – и к третьей . Получим:
f(x,y,z)==
=. Теперь приведем «подобные члены»: . Полученное выражение и есть СДНФ данной функции.
Для представления функции в виде совершенной конъюнктивной нормальной формы необходимо вначале представить её в виде произвольной конъюнктивной нормальной формы (КНФ) – это выражение вида (логическое произведение логических сумм переменных или их отрицаний, или конъюнкция элементарных дизъюнкций). Этого можно добиться с помощью приведенных выше законов. Затем в каждую элементарную дизъюнкцию добавить нулевые слагаемые, составленные по закону противоречия из недостающих ей до полного набора переменных. Далее выполнить преобразования, применяя законы дистрибутивности, коммутативности и идемпотентности.
Например, . Приведем к виду КНФ:
f(x,y,z)=. В этом выражении 4 элементарных дизъюнкции, причем в первой из них не хватает до полного набора переменных y и z, во второй – переменной z, в третьей – х и в четвертой – у. Добавим их в виде нулевых слагаемых, пользуясь законом противоречия. Тогда f(x,y,z)==
=
. Теперь воспользуемся законами идемпотентности и коммутативности и получим СКНФ(f(x,y,z))=
=
Выражение вида , где s n и суммирование выполняется по модулю 2 и проводится по всевозможным подмножествам номеров переменных, называется полиномом Жегалкина или совершенной полиномиальной нормальной формой (СПНФ). Здесь – коэффициент, равный нулю или единице, и стоящий перед произведением переменных с номерами: i1, i2,…, is. Важно, что представление в виде СПНФ для каждой функции алгебры логики единственно.
Примеры:
1) Построим полином Жегалкина для элементарной функции f(x,y) = х у. Сначала запишем его в общем виде: f(x,y) =. Где a, b, c и d – неопределенные коэффициенты, значения которых будут найдены путем подстановки различных комбинаций значений переменных х и у в выражение общего вида. Итак, f(0,0) = 0 =. Отсюда d=0.
f(0,1) = 1 =. Отсюда с=1.
f(1,0) = 1 =. Отсюда b=1.
f(1,1) = 1 =. Отсюда a=1.
Тем самым, при подстановке найденных значений коэффициентов в выражение общего вида, получим: (х у) =.
2) Построим полином Жегалкина для элементарной функции f(x,y) = х у. Запишем выражение общего вида: f(x,y) = и найдем коэффициенты: f(0,0) = 1 =. Отсюда d=1.
f(0,1) = 0 =. Отсюда с=1.
f(1,0) = 0 =. Отсюда b=1.
f(1,1) = 1 =. Отсюда a=0.
И полином Жегалкина: (х у) = х у 1
Рассмотренный в примерах способ построения полинома Жегалкина представляет собой так называемый метод неопределенных коэффициентов.
Ввиду важности полиномиального разложения функций алгебры логики укажем и на другие способы получения этого разложения.
Если функция задана формулой со связками {Ø,&,Ú}, то для перехода к полиному Жегалкина необходимо воспользоваться тождествами: , х&у = х·у, (х Ú у) =.
Например, пусть f(x,y,z) = .
Тогда f(x,y,z) = ((x1)·(y1) y) (z 1) = = ((x1)·(y1)·y (x1)·(y1) y) (z 1) =
=((x1)·(y1)·y (x1)·(y1) y)·(z 1) ((x1)·(y1)·y (x1)·(y1) y) (z 1) =((х·уxy1)·y х·уxy1y)·(z 1) (х·уxy1)·y х·уxy1y z1 = (воспользуемся тем, что х·х=х и xх=0) = (х·уx1)·(z 1) х·у x z = х·у·z х·z z х·у x 1 х·у x z = = х·у·z х·z 1
Если функция задана таблицей, то для получения её полинома Жегалкина вначале следует записать СДНФ, затем в полученном выражении заменить все конъюнкции умножением, дизъюнкции – сложением по модулю два, а отрицания – сложением с единицей. Далее раскрыть скобки и применить тождества х·х=х и xх=0.
Например, пусть столбец значений функции f(x,y,z) в таблице истинности равен (1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1). Запишем совершенную дизъюнктивную нормальную форму для этой функции: СДНФ(f(x,y,z)) = . Теперь выполним указанные выше замены:
f(x,y,z)=(х1)(уÅ1)(zÅ1) Å (xÅ1)(yÅ1)z Å (xÅ1)y(zÅ1) Å (xÅ1)yz Å x(yÅ1)(zÅ1) Å xy(zÅ1) Å xyz, и раскроем скобки: (xyz Å xy Å xz Å yz Å x Å y Å z Å1) Å (xyz Å xz Å yz Å z) Å (xyz Å xy Å yz Åy)Å (xyz Å yz) Å (xyz Å xy Å xz Å x) Å (xyz Å xy) Å xyz = х·у·z х·z 1