2. Бинарные отношения

N–местным отношением или n–местным предикатом Р на множествах A₁,A₂,,A_n, называется любое подмножество декартова произведения A₁A₂A_n. При n=2 отношение называется бинарным. Бинарные отношения чаще рассматриваются, как отношения между элементами одного и того же множества. Пусть это множество М, тогда Р  MM={(х,у): х,уM}.

То, что два элемента х и у находятся в отношении Р, записывается так: (х,у)Р или хРу или х~у(Р) – читается: «х находится с у в отношении Р». В некоторых случаях может использоваться также запись вида: y=Р(x), и соответствующая терминология: y является образом x относительно Р и x является прообразом y относительно Р. Если Р  АВ, то множество всех образов элементов xA называют образом множества А в множестве В и обозначают Р(А)={yB: xA и y=Р(x)}. Множество всех прообразов элементов yB называют прообразом множества В в множестве А и обозначают Р^‑1(В)={xA: yB и y=Р(x)}.

Пусть Р  АВ – бинарное отношение. Для всех x из пр_А Р={xA: yB и (x,y)Р}  A говорят, что отношение Р определено для x, и множество пр_А Р ⇋ пр₁ Р называют областью определения Р. Для всех y из пр_В Р={yB: xA и (x,y)Р}  B, говорят, что y является значением, принимаемым отношением Р, и множество пр_В Р ⇋ пр₂ Р называют областью значений Р.

Если пр₁ Р = А, то отношение Р называют всюду определённым.

Если отношение всюду определено и при этом пр₂ Р = B, то имеет смысл понятие обратного отношения.

Отношение Р^-1, элементами которого являются пары (y,x) такие, что (x,y)Р называется обратным к Р, т.о. Р^-1 = {(y,x): (x,y)  Р}.

Пусть Р  АВ и R  ВС – бинарные отношения. Композицией отношений R и Р называется отношение R∘Р={(x,z): yB и (x,y)Р и (y,z)R}. При этом область значений отношения Р является областью определения отношения R, т.е. пр₂ Р = пр₁ R. Иными словами, под композицией понимают последовательное применение двух отношений: сначала отношения Р к элементам множества А, а затем отношения R к значениям Р.

Свойства композиции:

Пусть Т  DA, Р  АВ и R  ВС – бинарные отношения. Тогда

1) (R∘Р)^-1= Р^‑1∘R^‑1

2) (R∘Р) ∘T = R∘ (Р∘T)

3) (R∘Р)(A) = R(Р(A))

Общая теория бинарных отношений распадается на ряд направлений, изучающих отношения, обладающие теми или иными свойствами.

Бинарное отношение РММ называется рефлексивным, если любой элемент множества М находится в этом отношении с самим собой, т.е. aM  a~a(Р).

Отношение Р называется транзитивным, если a, b, с  M, для которых a~b(Р) и b~с(Р), обязательно следует, что a~с(Р).

Отношение Р называется симметричным, если из a~b(Р) всегда  b~a(Р);

Отношение Р называется антисимметричным, если одновременное выполнение a~b(Р) и b~a(Р) возможно только в случае, когда a=b. (Заметим, что пара (a,b), удовлетворяющая данному условию, может вообще не существовать.)

1. Отношение эквивалентности

Бинарное отношение Р, заданное на множестве М, называется отношением эквивалентности или просто эквивалентностью, если оно рефлексивно, транзитивно и симметрично. Для обозначения этого отношения чаще используется запись ab без указания Р.

Значение этого отношения заключается в том, что с помощью него множество разбивается в объединение попарно непересекающихся подмножеств (классов эквивалентности).

Пусть «» – эквивалентность на множестве М. Подмножество К_а  М, состоящее из всех элементов М, эквивалентных элементу аМ, называется классом эквивалентности элемента а по отношению «», т.е. К_а={ х: ха, где а, х  М }.

Утверждения:

1) Два класса эквивалентности множества М либо совпадают, либо не пересекаются.

2) Любой элемент множества М попадает в один и только один класс эквивалентности. Поэтому множество М разбивается на попарно непересекающиеся классы эквивалентных между собой элементов.

Множество всех классов эквивалентности для М по отношению «» называется фактор–множеством и обозначается М/. А процесс разбиения М на классы эквивалентности называется факторизацией.