3. Функции

Бинарное отношение Р называется однозначным, если для всякого элемента xпр₁Р существует не более одного (а может быть и вовсе ни одного) значения yпр₂Р.

Всюду определенное и однозначное бинарное отношение fAB называется функцией или отображением множества А в множество В. Если А и В числовые множества, то функция называется числовой.

Для отображений чаще используются обозначения вида: f :  или . Пару (х, у) f чаще обозначают y = f(x), и поскольку отображение – это частный случай бинарных отношений, то определены все ранее введенные понятия: образа и прообраза для элементов и множеств, области определения и области значений отображения (или функции), а также понятия композиции отображений и обратного отображения.

Отображение (функция) называется постоянным, если  х_  х_  следует f(x₁) = f(x₂). Элемент х называется неподвижной точкой отображения, если f(x) = x.

Отображение f : AB называется инъективным или взаимно-однозначным отображением множества А в В, если для  х_  х_   f(x₁)  f(x₂). Т.е. каждый образ имеет только один прообраз. Подчеркнем, что не все элементы множества В обязаны иметь прообраз (должны быть чьими-нибудь образами).

Отображение называется сюрьективным (или сюрьекцией или отображением множества А на множество В), если f(A) = B или  yB xA (один или несколько) и y=f(x), т.е. все элементы множества В являются чьими-нибудь образами (имеют по крайней мере один прообраз).

Отображение называется биективным (биекцией или взаимно однозначным отображением A на B), если оно одновременно инъективно и сюрьективно.

Биективное отображение A на А называется тождественным отображением, если все его элементы являются неподвижными точками, т.е.  xA следует, что f(x) = x.

Утверждения:

1) Если f : AВ и g : ВС – две функции, то g ∘ f: A→C – тоже является функцией.

2) Пусть f : AВ – функция. Для того, чтобы f ^‑1: ВА было функцией, необходимо и достаточно, чтобы f было биективным отображением. В этом случае f ^–1 называется отображением, обратным к f, или обратной функцией. При этом f ^‑1 – также биективно, f ^‑1∘ f =I_A – тождественное отображение А и f ∘ f ^‑1 =I_B – тождественное отображение В.

Отображение f : AВ называется обратимым слева (справа), если существует отображение f_Л^‑1: ВА ( f_П^‑1: ВА ) такое, что f _Л^‑1∘ f =I_A ( f ∘ f _П^‑1 =I_B ).

Критерий обратимости слева (справа)

Для того, чтобы отображение f : AВ было обратимым слева (справа), необходимо и достаточно чтобы оно было инъективным (сюрьективным).

3. Функции и формулы алгебры логики

Алгебра логики задается двумя множествами: U и Р₂, где U – это множество всех высказываний, принимающих значения «истина» или «ложь», или любое другое множество, элементы которого могут принимать одно их двух значений или находиться в одном из двух состояний. Например, множество переключателей, каждый из которых может быть «включен» или «выключен», или множество электрических сигналов, поступающих на вход некоторого устройства, – «сигнал есть» или «сигнала нет» и т.п.. Сопоставим значению «истина» символ «1», а значению «ложь» – символ «0». Таким образом, алгебра логики оперирует на множестве всех высказываний со значениями из двухэлементного множества Е₂ ={0, 1}.

Множество Р₂ – это множество всех таких функций, которые принимают «истинностные» значения 0 или 1, если их аргументы пробегают те же значения. Т.е., если f(x₁,x₂,…,x_n) – истинностная функция от n аргументов или f(x₁,x₂,…,x_n)Р₂, то она определяет отображение f: ® E₂. Алгебра логики занимается изучением свойств этих функций.

Истинностные функции называют также функциями алгебры логики, или булевыми функциями, или переключательными функциями.

Число всех функций алгебры логики от n переменных равно 2²ⁿ.

Функции алгебры логики могут быть заданы одним из следующих способов: 1) словесное описание;

2. табличное представление;

3. графическое изображение;

4. алгебраическое (в виде формулы).

Таблица значений функции алгебры логики называется таблицей истинности или комбинационной таблицей.

Ниже приведены таблицы истинности элементарных функций алгебры логики, к которым относятся функции от одной и от двух переменных.

x	g1(x)	g2(x)	g3(x)	g4(x)
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1	Таблица 1

В таблице 1 функция g₁(x) – это константа ноль или «противоречие».

Функция g₂(x) – «тождественная функция x».

Функция g₃(x) – «отрицание x», обозначается «» или «».

Функция g₄(x) – константа единица или «тавтология».

x	y	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15	f16
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1
Обозначение		0	&		x		y						yx		xy	|	1
															Таблица 2

В таблице 2 приведены также обозначения элементарных функций. Эти обозначения (символы) принято называть пропозициональными связками или символами логических операций.

Функция f₁(x,y) – это так же, как и в таблице 1, константа ноль или «противоречие».

Функция f₂(x,y)=x&y – «конъюнкция» х и у или «логическое умножение». Читается: «х и у». Значения этой функции можно получить простым умножением значений её аргументов или как наименьшее из значений аргументов, т.е. f₂(x,y) = x&y = xy = min(x, y).

Функции f₃(x,y)= и f₅(x,y)= – это «условное вычитание» у из х, и х из у, соответственно. Их значения можно получить по правилу: и .

Функции f₄(x,y)=х и f₆(x,y)=у – как и в таблице 1, «тождественная функция x» и «тождественная функция у» соответственно.

Функция f₇(x,y)=ху – «сложение по модулю 2» или «исключающее или». Значения этой функции равны остатку от деления на 2 суммы её аргументов.

Функция f₈(x,y)=ху – «дизъюнкция» х и у или «логическое сложение». Читается: «х или у». Значения этой функции можно получить как наибольшее из значений аргументов, т.е. f₂(x,y) = xy = max(x, y).

Функция f₉(x,y)=ху – «стрелка Пирса» или «отрицание дизъюнкции» или «конъюнкция отрицаний». Последние два названия обусловлены правилом, по которому получаются значения этой функции.

Функция f₁₀(x,y)=ху – «эквиваленция». Читается: «х эквивалентно у». Значения этой функции получаются по правилу: .

Функции f₁₁(x,y)= и f₁₃(x,y)= – это так же, как и в таблице 2, «отрицание у» и «отрицание х» соответственно.

Функции f₁₂(x,y)= yx и f₁₄(x,y)= xy – это так называемая «импликация». Для чтения выражения xy можно использовать фразу «х влечет у» или «если х, то у». Значения xy получаются как ответ на вопрос «х меньше, либо равно у?». При этом положительный ответ записывается «1», а отрицательный – «0».

Функция f₁₅(x,y)= y | x – «штрих Шеффера» или «отрицание конъюнкции» или «дизъюнкция отрицаний». Последние два названия обусловлены правилом, по которому получаются значения этой функции.

Последняя функция в таблице 2 – это так же, как и в таблице 1, константа единица или тавтология.

Из пропозициональных переменных, элементарных функций и скобок строятся логические формулы.

Вычисление значений формулы выполняется путем подстановки различных наборов значений переменных, входящих в формулу. Результаты вычислений обычно оформляются в виде таблицы истинности формулы. Такие таблицы могут быть полными и сокращенными.

Для построения полной таблицы истинности исходную формулу разделяют на подформулы и затем вычисляют значение каждой подформулы. Таким образом, если n – это число переменных в формуле, а s – число выделенных подформул, то число столбцов в полной таблице истинности исходной формулы будет равно n+s, а число строк – 2ⁿ. При этом последний столбец этой таблицы будет представлять значения формулы.

Для примера рассмотрим построение полной таблицы истинности формулы . Разделим её на подформулы: f₁=x, f₂=f₁y, f₃=f₂z. Тем самым, таблица будет содержать 8 строк и 6 столбцов. См. таблицу 3.

x	y	z	f1	f2	f3
0	0	0	1	1	0
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	0
1	1	1	0	1	1
Таблица 3

В последнем столбце таблицы 3 находятся значения исходной формулы.

Сокращенная таблица истинности строится непосредственно под формулой. Для этого выписывают саму формулу, затем под именами переменных записывают столбцы их значений, а под каждой логической связкой – столбец результатов соответствующей логической операции.

((	x		y)		z)
1	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	1
1	0	1	1	0	0
1	0	1	1	1	1
0	1	0	0	1	0
0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1	Таблица 4

Рассмотрим построение сокращенной таблицы истинности на примере той же формулы: . См. таблицу 4.

Внизу таблицы стрелками указаны участвующие в операции столбцы, номером в кружочке отмечен порядок выполняемых действий. Столбец результатов отмечен номером 3.

Из рассмотренных примеров видно, что значениями формулы могут быть только 0 или 1. Поэтому столбец результатов можно рассматривать, как некоторую истинностную функцию, принимающую те же значения, что и формула, на соответствующих «энках». Об этой функции говорят, что она реализуется формулой, про формулу, – что она реализует функцию.

Две формулы А и В называются эквивалентными, если функции f_A и f_B, соответствующие им, эквивалентны или равны, т.е. f_A=f_B. Для обозначения эквивалентных формул традиционно используется запись А=В, которую называют тождеством.

Следующие тождества характеризуют важнейшие свойства элементарных функций: {0, 1, , &, }. (Обозначим «∘» любую из функций: {&, , }.)

1. ((x∘y)∘z)=(x∘(y∘z)) – свойство ассоциативности;

2. (x∘y)=(y∘х) – коммутативность;

3. конъюнкция и дизъюнкция дистрибутивны друг относительно друга: ((x  y) & z) = ((x & z)  (y & z)) ((x & y)  z) = ((x  z) & (y  z));

4. – закон двойного отрицания;

5. – законы Де Моргана для конъюнкции и дизъюнкции;

6. (х & х) = x; (x  x) = x – законы идемпотентности;

7. – закон исключенного третьего;

8. – закон противоречия;

9. (х & 0) = 0, (x  0) = x – умножение на ноль и сложение с нулем;

10. (х & 1) = х, (x  1) = 1 – умножение на единицу и сложение с единицей;

11. ((х & y)  x) = x, ((х  y) & x) = x – законы поглощения.

Все тождества легко проверяются с помощью таблиц истинности.

Из свойств элементарных функций следует ряд простых правил преобразования формул:

а) если хотя бы один из сомножителей логического произведения равен нулю, то значение произведения также равно нулю;

б) если логическое произведение содержит не менее двух сомножителей, один из которых равен единице, то этот сомножитель можно сократить;

в) если логическая сумма содержит не менее двух слагаемых, одно из которых принимает значение ноль, то его можно сократить;

г) если хотя бы одно из слагаемых логической суммы принимает значение единица, то и вся логическая сумма равна единице;

д) пусть U¹ – подформула формулы U; если в формуле U заменить любые вхождения подформулы U¹ эквивалентной ей формулой В¹, то в результате будет получена формула В, эквивалентная исходной формуле U.

Для упрощения записи формул вводятся следующие соглашения:

1) В формулах опускают внешнюю пару скобок, т.е. вместо формулы (ху) пишут выражение ху. Аналогично в выражениях со знаком отрицания вместо записывают .

2) По закону ассоциативности для операции «∘» вместо формулы ((x ∘ y) ∘ z) или (x∘(y ∘ z)) используется выражение без скобок: x∘ y ∘ z. Для восстановления формулы достаточно расставить скобки, порядок которых не является существенным для вычислений.

3) О старшинстве операций: если в выражении с помощью скобок специально не указан порядок выполнения операций, то одинаковые по старшинству операции выполняются последовательно слева направо. Если в выражении имеются различные операции, то сначала выполняется отрицание, затем конъюнкция, дизъюнкция, импликация и т.д., самой последней выполняется эквиваленция. Скобки восстанавливаются по тому же правилу.

Ввиду введенного старшинства операций не всякая формула может быть записана без скобок. Например, в выражениях х(уz) или х&(yz) дальнейшее исключение скобок невозможно, т.к. это может повлиять на значение, вычисленное по формуле.

4) Для компактности вместо записи х₁&x₂&…&x_s используется запись , а вместо х₁x₂…x_s – .

Перечисленные свойства и правила позволяют преобразовывать формулы, получая новые тождества.

Рассмотрим эквивалентные преобразования формулы: ¹= ²= ³= ⁴= ⁵=

Тождество 1 записано по правилу сокращения единичного сомножителя, тождество 2 – по правилу замены подформулы эквивалентной формулой, а именно: здесь для замены использовался закон исключенного третьего. В тождестве 3 применен закон дистрибутивности. Тождество 4 получено по закону коммутативности. И, наконец, тождество 5 записано по закону поглощения, причем для наглядности «поглощающие элементы» подчеркнуты одинарной и двойной чертой.