- •Программа по курсу «Дискретная математика» для заочной формы обучения
- •Методика рецензирования контрольной работы.
- •Краткие теоретические сведения
- •Множества и операции над ними
- •Бинарные отношения
- •Отношение эквивалентности
- •Отношение упорядоченности
- •Функции
- •Функции и формулы алгебры логики
- •Двойственные функции и совершенные нормальные формы
- •Принцип двойственности
- •Построение совершенных нормальных форм
- •Полнота и замкнутость систем функций алгебры логики
- •Полные системы функций алгебры логики
- •Важнейшие замкнутые классы
- •Задание к контрольной работе по дискретной математике
- •I. Множества и операции над ними.
- •Варианты контрольных работ Вариант №1
- •Вариант №2
- •Вариант №3
- •Вариант №4
- •Вариант №5
- •Вариант №6
- •Вариант №7
- •Вариант №8
- •Вариант №9
- •Вариант №10
- •Вариант №11
- •Вариант №12
- •Вариант №13
- •Вариант №14
- •Вариант №15
- •Вариант №16
- •Вариант №17
- •Вариант №18
- •Вариант №19
- •Вариант №20
- •Вариант №21
- •Вариант №22
- •Вариант №23
- •Вариант №24
- •Вариант №25
- •Пример решения контрольной работы
- •Список литературы
- •400131, Волгоград, просп. Им. В.И. Ленина, 28
- •400131, Волгоград, ул. Советская, 35
-
Задание к контрольной работе по дискретной математике
I. Множества и операции над ними.
-
Для заданных множеств А, В и С найти:
B \ C, C \ B, (А \ В) \ С, А \ (В \ С), А B, B A, B C, A B C. Изобразить на плоскости Найтисчитая универсальным множеством множество ℝ – всех вещественных чисел (всю числовую ось).
-
Для заданного семейства множеств где Г – заданное индексное множество, найти объединение и пересечение всех множеств семейства, т.е. и (по всем возможным индексам ).
-
Докажите тождества, используя только определения операций над множествами.
-
Докажите тождество, используя диаграммы Эйлера – Венна.
II. Отношения. Функции. Отношения эквивалентности и упорядоченности.
-
Даны множества и два бинарных отношения: и . Изобразите Р1, Р2 графически. Найдите Р1-1, Р2-1, Определите, является ли отношение Р2 рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.
-
Найдите область определения и область значений отношения Р. Является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным?
-
Даны отображения (числовые функции) ƒ, g: ℝ→ℝ. Найти композицию ƒ ◦ g, g ◦ ƒ, обратные отображения: ƒ–1, g-1, (ƒ ◦ g)-1, (g ◦ ƒ)-1. Для заданных множеств A, B ℝ найти f(A), g(A), ƒ –1(B), g-1(B). Найти неподвижные точки отображений.
III. Функции и формулы алгебры логики. Эквивалентность формул.
-
Составьте полную и сокращенную таблицы истинности формул.
-
Проверьте двумя способами, будут ли эквивалентны следующие формулы: а) составлением таблиц истинности; б) с помощью эквивалентных преобразований.
-
Доказать тождественную истинность формулы двумя способами (см. задачу III.2). (Где x
·y = x & y)
IV. Двойственные функции. Принцип двойственности. Совершенные дизъюнктивные, конъюнктивные и полиномиальные нормальные формы (СДНФ, СКНФ, СПНФ – полиномы Жегалкина).
-
Для функций, которые реализуются формулами из задачи III.1, запишите: столбцы значений двойственных функций, СДНФ, СКНФ и СПНФ.
-
Используя принцип двойственности, запишите формулы, двойственные заданным, затем расставьте в полученных формулах скобки, указывающие порядок выполнения действий.
-
С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ, СДНФ, СКНФ, СПНФ.
V. Полные системы функций алгебры логики. Функционально-замкнутые классы.
-
Каким из замкнутых классов Поста принадлежит функция f(x, y, z), заданная своими нулевыми или единичными наборами?
-
Является ли полной система функций? Образует ли она базис?
-
Варианты контрольных работ Вариант №1
I.1. А = [-3; 0] – отрезок числовой оси
В = (-1; 3] – полуинтервал на числовой оси
С = (-0.5; 4) – интервал на числовой оси
2. , где N - множество всех натуральных чисел и
3. если
4.
II.1. Р1 = {(а, 2); (а, 3); (а, 4); (b, 3); (с, 1); (с, 4)}
Р2 = {(1, 1); (2, 3); (2, 2); (3, 4); (1, 4); (2, 4); (4, 2)}
2. P ℝ2 и Р = {(x, y) : x · y > 1, где x, y ℝ}
3. f(x) = –(x + 1)2; g(x) = –x –2; А = [–1.5; 1]; В = [–2; –1]
III.1.
2. x → (y ↓ z) и (x → y ) ↓ (x → z)
3. ((x
≡ y) ·
(x | y))
≡ x &
y
IV.2.
3.
V.1. f (0,1,1) = f (0,1,0) = f (1,0,1) = f (1,1,1) = 1
2.