- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка).
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
При конструировании следящих систем обычно возникает задача: при каких значениях параметров система сохраняет устойчивость?
Поставим задачу более конкретно: пусть в характеристическом уравнении (9.1) не заданы некоторые коэффициенты. Предлагается в пространстве этих коэффициентов выделить множество, все точки которого гарантируют отрицательность действительных частей корней уравнения (9.1).
Без потери общности достаточно рассмотреть случай двух не заданных коэффициентов (рис.9.1).
Рис.9.1. Область устойчивости в пространстве двух коэффициентов.
При пересечении границы выделенной области один или несколько корней характеристического уравнения переходят из левой полуплоскости в правую. Это рассуждение дает способ построения границы области устойчивости: в характеристическом уравнении нужно заменить на , после чего уравнение вида (9.1) станет параметрически заданным уравнением границы устойчивости. Рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих описанный прием построения границы.
2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
Задачу интегрирования уравнений с переменными параметрами можно считать в большинстве случаев принципиально решенной, если иметь в виду численные методы. Поэтому главное внимание мы уделим здесь проблеме качественной оценки асимптотического поведения нестационарных систем на уровне универсальных теоретических выводов.
Введем понятие функциональной матрицы
. (17.1)
Если существуют производные всех элементов матрицы (17.1), то производной матрицы F (t) будем называть матрицу, аналогичную (17.1), в которой все элементы заменены соответствующими производными.
Далее, пусть уравнение (17.2) имеет совокупность решений . В таком случае говорят, что они образуют фундаментальную систему если:
1. тогда и только тогда, если и
2. Любое решение уравнения (17.2) может быть записано в виде суммы
. (17.3)
Говорят также, что совокупность решений образует фундаментальную матрицу решений. В векторной форме любое решение уравнения (17.2) можно записать как , (17.4) где - столбец из постоянных коэффициентов.
Форма (17.4) используется для метода вариации постоянных Лагранжа при решении неоднородных систем вида. (17.5)
Решение записывается как произведение, (17.6)где X (t) – фундаментальная матрица решений однородного уравнения (17.2) и u (t) – некоторая вектор-функция.
Подставив (17.6) в (17.5), имеем , или, имея в виду (17.2), .
Отсюда непосредственно следует .
Следовательно, решение неоднородного уравнения (17.5) запишется в виде. (17.7)
Для определения постоянного вектора с положим t = t0. Тогда .
Отсюда, умножая слева на матрицу X-1( t0 ), получаем.(17.8)
Наконец, подставив (17.8) в (17.7), находим окончательно искомое решение неоднородного уравнения (17.5), удовлетворяющее начальным условиям .(17.9)
На формулу (17.9) можно взглянуть с еще одной точки зрения. Очевидно, что если матрица X (t) – фундаментальная матрица решений однородной системы (17.2), то и произведение также фундаментальная матрица этой системы. Очевидно, что при постоянной матрице A также удовлетворяет уравнению (17.2).
Пусть система (17.2) удовлетворяет условиям единственности решения и . Тогда при .
В силу предположения о выполнении условий единственности решения последнее равенство справедливо и при остальных значениях переменной t. В частности, если t0=0 и y(0)=0, формулу (17.9) можно записать в знакомом виде . (17.12)
Следует обратить внимание на то, что мы нигде не использовали понятия функции Дирака, а последнее равенство записано в векторной форме.
БИЛЕТ № 19