- •1.Методы математического описания линейных систем управления.
- •2.Связь между частотными критериями устойчивости и методами выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •1.Типовые тестовые воздействия и их краткая характеристика.
- •2.Импульсная переходная характеристика линейной системы управления.
- •1.Периодические и непериодические сигналы. Преобразование Лапласа.
- •2.Коэффициенты ошибок следящих систем.
- •1.Преобразование многоконтурных структурных схем.
- •2.Алгоритм поиска минимума интегральной оценки в пространстве параметров.
- •1.Определение устойчивости движения по а.М. Ляпунову.
- •2.Способы модуляции в дискретных системах управления.
- •1.Теорема а.М. Ляпунова об устойчивости для систем, допускающих линеаризацию.
- •2.Рекуррентные соотношения в дискретных системах управления.
- •1.Практическое применение критерия устойчивости Гурвица (не ниже 4-го порядка).
- •2.Модификация критерия Гурвица для дискретных систем.
- •1.Доказать критерий устойчивости а.В. Михайлова.
- •2.Управляемость динамических систем. Теорема Калмана об управляемости.
- •1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
- •2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
- •1.В чем состоит основной принцип выделения границ области устойчивости в пространстве параметров?
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной системы управления. Распространение понятия свертки на многомерные системы.
- •1.Выделение области устойчивости в пространстве двух параметров. Особые прямые. Правила штриховки границы.
- •2.Сформулировать условия устойчивости линейной системы управления с медленно меняющимися параметрами.
1.Доказать критерий устойчивости Найквиста.
Критерий Найквиста пользуется наибольшим распространением в связи с удобством его практического применения, в частности, в логарифмических координатах. Кроме того, он особенно удобен в связи с тем, что требует построения характеристик лишь разомкнутой системы, Эта операция либо обходится минимальными вычислениями, либо вообще без них.
Для вывода критерия Найквиста рассмотрим выражение (6.2) передаточной функции замкнутой системы, полученное нами в шестой лекции. Как уже было установлено, передаточная функция линейной динамической системы представляет собой отношение двух целых полиномов, т.е. .
Подставив это выражение в (6.2), получаем .
Из последней формулы видно, что ее знаменатель представляет собой характеристический полином замкнутой системы. В то же время, обратившись к выражению ,мы замечаем, что приращение аргумента(8.3)
Здесь полином N(s) следует рассматривать как характеристический полином разомкнутой системы. При доказательстве критерия Михайлова мы видели, что приращение аргумента первого слагаемого в (8.3) равно . Допуская существование m корней с положительной вещественной частью у полинома N(s), подсчитаем приращение аргумента согласно (8.3)
. (8.4)
Геометрически это означает, что годограф левой части в случае устойчивости замкнутой системы должен охватывать начало координат m/2 раз. Кроме того, этот годограф отличается от годографа разомкнутой системы простым сдвигом вдоль вещественной оси на единицу. Ввиду последнего замечания критерий Найквиста формулируется следующим образом: для того, чтобы замкнутая автоматическая система была устойчива, необходимо, чтобы годограф ее передаточной функции в разомкнутом состоянии охватывал точку (-1, j*0) m/2 раз, где m - число корней с положительной вещественной частью характеристического полинома разомкнутой системы.
2.Наблюдаемость динамических систем. Теорема Калмана о наблюдаемости.
Система называется полностью наблюдаемой, если по измеренным значениям компонент вектора Y при заданном управлении G ( t ) ( 0 < t <T ) можно определить начальное значение вектора состояния X
Если путем измерения вектора Y восстанавливаются начальные значения не всех компонент вектора X, то система будет не полностью наблюдаемой, в частности, система может оказаться полностью ненаблюдаемой.
Справедлива следующая теорема Калмана. Система будет полностью наблюдаемой, если ранг матрицы равен n.
Пример. Система описывается уравнениями
Вектор измерений представляет собой скалярную величину Y = x1.
Составим матрицы, указанные в теореме.
Следовательно, матрица Калмана в данном случае имеет ранг, равный двум. Система наблюдаема.
Пример 15.3.
Пусть для системы из предыдущего примера вектор наблюдений также выродился в скалярную величину, но на этот раз Y = x2 . В этом случае Как видим, ранг матрицы Калмана на этот раз равен единице, в то время как порядок системы равен двум. Следовательно, система не полностью наблюдаема. В самом деле, по измерениям первой производной функции x1( t ) нельзя установить, чему равна эта функция при t = 0, т.к. одной и той же производной соответствует бесчисленное множество первообразных.
БИЛЕТ № 18