Тема 9 Распределительные модели

Цель: Рассмотреть структуру моделей распределения и по-

требления ресурсов.

С распределением мы сталкиваемся гораздо раньше, чем с

любым другим процессом. В детстве мы видим, как этим занима-

ются наши родители, когда уговаривают съесть ложку каши за па-

пу, за маму, за бабушку и т.д. Затем мы делим игрушки между

сверстниками. Становясь взрослее, нам приходится наблюдать не

только сам процесс распределения, но и его последствия, которые

могут быть более серьезными, чем это можно предположить. Рас-

пределительные процессы характерны для всех уровней социаль-

ной иерархии и касаются каждого из нас. В экономике распреде-

лением ресурсов, как правило, занимается менеджер. Составной

частью функций управления, которым занимается менеджер, явля-

ется планирование, которое как раз и является распределительным

процессом, включающим такие частности, как распределение пер-

сонала и его обязанностей, производственных заданий и ресурсов,

необходимых для их выполнения. Последствием такого распреде-

ления является результативность работы, как предприятия в це-

лом, так и отдельных подразделений. Поэтому важность задач

распределения ресурсов нельзя переоценить.

Распределение ресурсов – общее понятие теории исследова-

ния операций и связано с материально-вещественной, производст-

венной стороной экономики. Обычно под термином «распределе-

нием ресурсов» понимается распределение наличных ресурсов по

разным работам с учетом применяемой технологии, по направле-

ниям конечного использования. Значимость этой проблемы опре-

деляется:

1. ограниченностью ресурсов;

2. разной эффективностью использования ресурсов в

зависимости от направления использования.

Таким образом, эффективность деятельности экономической

системы зависит не только от количества ресурсов, но и от их рас-

пределения. Целью большинства экономико-математических за-

дач, решаемых в сфере планирования деятельности фирмы, явля-

ется оптимальное распределение ресурсов.

Лауреат Нобелевской премии Т. Купманс выдвинул фунда-

ментальную «преинституциональную» теорию распределения ре-

74

сурсов. Смысл этой теории заключается в том, что в любом обще-

стве, независимо _______от его институциональной структуры, прежде

всего, решается задача оптимального распределения ресурсов это-

го общества, а затем на нее накладывается те или иные особенно-

сти, связанные с его устройством.

Распределительные задачи образуют отдельный класс эконо-

мико-математических задач, связанных с распределением ресурсов

по работам, которые необходимо выполнить. Если ресурсов доста-

точно, чтобы выполнить каждую работу наиболее эффективно,

проблемы не возникает. А если ресурсы в избытке, то рентабель-

ность фирмы низка. Поэтому для рентабельной работы фирмы не-

обходимо, чтобы наблюдался баланс между имеющимися у фирмы

и требующимися для выполнения предполагаемой производствен-

ной программы ресурсами. Но для работы большинства фирм ха-

рактерно постоянное изменение производственной программы,

что приводит к нарушению баланса между требующимися и

имеющимися ресурсами, как в целом в плановом периоде, так и в

более коротких по продолжительности планово-учетных периодах.

В случае дефицита даже одного ресурса распределение ресурсов

между работами приводит к изменению эффективности выполне-

ния всех работ. Поэтому решение распределительной задачи за-

ключается в отыскании наилучшего распределения ресурсов, при

котором либо максимизируется общий доход или результат, вы-

раженный в какой-либо форме, либо минимизируются затраты.

Такие задачи нередко приводятся к линейному виду, причем

часто за счет упрощений, и тогда эти задачи решаются методом

линейного программирования. Если через ij x обозначить объем

ресурса i , выделенного для выполнения работы j , то математиче-

ская формулировка распределительной задачи следующая: найти

максимум или минимум целевой функции (максимум эффекта

ΣΣ

i j

ij ij a x или минимум затрат ΣΣ

i j

ij ij c x ) при выполнении ограни-

чений по объему ресурсов и потребности в них. При этом разли-

чают два вида таких задач:

a) сбалансированную (закрытую) – задача, в которой общий

объем ресурсов Σ

i

i b равен общей потребности в них Σ

j

j a ;

75

b) несбалансированную (открытую) – задача, в которой

Σ ¹ Σ

j

j

i

i b a и требуется не только распределить ресурсы по

работам (потребителям), но также решить какие работы не следует

выполнять (т.е. каких потребителей не следует удовлетворять),

если ресурсы меньше потребностей, либо какие ресурсы не

использовать – противоположном случае.

Таким образом, распределительная задача – это специаль-

ная линейная задача транспортного типа, имеющая многочислен-

ные приложения к планированию, управлению и проектированию.

Каждый столбец матрицы условий распределительной задачи со-

держит не более двух отличных от нуля элементов двухкомпо-

нентная задача. В формальной постановке распределительной за-

дачи требуется найти минимум

ΣΣ

= =

n

j

m

i

i j i j c x

1 1

, , (1.1.)

при условиях

Σ=

=

n

j

i j i j i a x a

1

, , , i =1,K,m , (1.2.)

Σ=

=

m

i

i j j x b

1

, , j = 1,K,n, (1.3.)

0 , ³ i j x , i = 1,K,m, j = 1,K,n (1.4.)

В условиях (1.2.), (1.3.) равенства могут быть заменены нера-

венствами.

Рассмотренные задачи относятся к области линейного про-

граммирования, в которой разрабатывается теория и численные

методы нахождения экстремума линейной функции многих пере-

менных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных ра-

венств и неравенств, связывающих эти переменные.

К модели (1.1.-1.4.) при соответствующих предположениях

сводятся задачи распределения самолетов между воздушными ли-

ниями, рационального использования машинно-тракторного парка

в сельскохозяйственных предприятиях, планирования работы реч-

ного флота, распределения башенных кранов между строительны-

ми площадками, распределения посевной площади между сель-

скохозяйственными культурами, рационального смешивания неф-

76

тепродуктов для получения бензинов (или других продуктов) с за-

данными техническими характеристиками и др.

Для решения распределительной задачи разработан ряд эко-

номных методов, наиболее эффективные из них обобщают венгер-

ский метод и метод потенциалов для транспортной задачи.

Задача максимизации выпуска в заданном ассортименте

Исторически первой задачей оптимального производственно-

го планирования является задача максимизации выпуска в задан-

ном ассортименте, которая была строго математически сформули-

рован отечественным математиком и экономистом Л. В. Канторо-

вичем (1939 г.). Эта задача возникает, когда требуется распреде-

лить производственную мощность между выпуском нескольких

видов продукции, потребности в которых задаются определенны-

ми соотношениями – ассортиментным набором, или комплектом.

Пусть имеет оборудование с фондом времени эксплуатации

T > 0, используемое _______в m режимах для выпуска n продуктов. За 1

час работы в режиме i(i = 1,2,K,m) выпускается i j q , продукта

j( j = 1,2,K, n) . Продукция комплектуется в ассортиментные набо-

ры, причем один ассортиментный набор содержит j Q продукта j

( > 0 j Q ). Требуется так распределить время работы оборудования

между различными режимами, чтобы количество укомплектован-

ных ассортиментных наборов было максимальным. Обозначая i z ,

i = 1,2,K,m, затраты времени на работу в режиме i и предполагая

линейную зависимость выпуска каждого продукта от времени ис-

пользования режимов, получаем задачу оптимизации:

³ 0 i z , i = 1,2,K,m; (2.1.)

z T

m

i

i = Σ

=1

; (2.2.)

1 max

,

min ®

Σ=

j

m

i

i j i

j Q

q z

, (2.3.)

где (2.1.) – условие неотрицательности времени использова-

ния каждого режима, (2.2.) – ограничении е на фонд времени экс-

плуатации, а запись функции цели (2.3.) основан на том, что при

выпуске продукта j в объеме Σ

=

m

i

i j i q z

1

, можно укомплектовать са-

77

мое большее

j

m

i

i j i

Q

z q Σ

=1

,

min ассортиментных наборов. Нестандарт-

ную форму функции цели (2.3.) можно преобразовать, если ввести

обозначение для неизвестного количества ассортиментных набо-

ров R. Тогда вместо (2.3.) можно записать

0;

1

, ³ - Σ

=

j

m

i

i j j q z RQ (2.4.)

R ® max . (2.5.)

Задача линейного программирования (2.1.), (2.2.), (2.4.), (2.5.)

эквивалентна (2.1.) – (2.3.). Кроме того, после элементарных пре-

образований v R

Q

q T

a

T

z

x T

j

i j

i j

i

i = , = , = ,

, она совпадает с задачей

максимизирующего участника матричной игры. Для решения дан-

ной задачи пригоден любой численный метод линейного програм-

мирования, а также численный метод решения матричной игры.

Экономически функция цели (2.3.) при условиях (2.1.), (2.2.)

или (2.5.) при условиях (2.1.), (2.2.), (2.4.) эквивалентна валовому

выпуску с учетом специфического требования, что продукция

нужна при жестких соотношениях между объемами по ее отдель-

ным видам. Это требование может соответствовать характеру за-

дач, решаемых на уровне предприятия. Условия линейности соот-

ношения (2.4.) и представимости производственной мощности од-

ним числом T при этом, как правило, более стеснительны. Задача

максимизации выпуска в заданном ассортименте иногда исполь-

зуются в макроэкономическом анализе. При этом с помощью j Q

задают желательную структуру конечного потребления, T - обоб-

щенная «производственная мощность» экономики в целом. Такая

интерпретация может быть оправданной лишь в сугубо теоретиче-

ских исследованиях.

Задача загрузки оборудования

Задача загрузки оборудования заключается в определении

рациональной номенклатуры и объемов выпуска изделий в нату-

ральном выражении при максимальном использовании оборудова-

ния в течение планового периода, как правило, года, на основе

расчета производственной мощности предприятия. В задачах за-

грузки оборудования рассматриваются не все, а только ведущие

78

(лимитирующие) группы оборудования. Под годовым, эффектив-

ным фондом времени одного станка из группы понимается число

календарных суток за вычетом праздничных и выходных, а также

времени, отводимого под планово-предупредительный ремонт (в

часах при работе в одну смену). Для формализации задачи загруз-

ки оборудования используют оптимизационные экономико-

математические модели.

Базовая модель включает ограничения:

по спросу и заказам на продукцию предприятия

j j j d £ x £ c , j = 1,2,K, J , (3.1.)

по мощности

h

J

j

h j j B x b £ Σ

=1

, , h = 1,2,K,H (3.2.)

на неотрицательность переменных

³ 0 j x , j = 1,2,K, J , (3.3.)

и критерии оптимизации:

на максимум загрузки оборудования

max

1 1

, ΣΣ ®

= =

H

h

J

j

h j j b x , (3.4.)

на максимум объема реализации продукции

max

1

® Σ

=

J

j

j j p x , (3.5.)

на максимум прибыли

( ) max

1

® - Σ

=

J

j

j j j p v x , (3.6.)

где j x - объем выпуска изделия j в натуральном выражении;

j = 1,2,K, J - номера изделий, входящих в номенклатуру

предприятия;

h = 1,2,K,H - номера групп оборудования;

j d - число изделий в заказе j ;

j c - объем спроса на изделие j ;

h j b , - норма затрат времени группы оборудования h на обра-

ботку единицы изделия j (станко-часы);

h B - годовой эффективный фонд времени работы группы

оборудования h (часы);

79

j p - цена за изделие j ;

j v - переменные издержки.

Решение модели возможно как однокритериальной при лю-

бой целевой функции (3.4. - 3.6.) либо как многокритериальной с

использованием всех (или некоторых двух) из этих целевых функ-

ций (векторная оптимизация). Необходимо помнить, что задача

формулируется с линейными ограничениями, поэтому все коэф-

фициенты при переменных должны быть независимыми от их зна-

чений.

Усложнение задачи идет за счет дополнительного предполо-

жения, что в плановом году будет ввод нового оборудования, и

учета производствен –технологической структуры предприятия.

Тогда можно сформулировать две модификации модели (3.1.-

3.6.). В первом случае при сохранении ограничений (3.1.) и (3.3.)

трансформируются ограничения по мощности:

Σ=

£ +

J

j

h j j h h h b x B b y

1

, , h = 1,2,K,H , (3.7.)

вводятся дополнительные ограничения по инвестициям:

Σ=

£

H

h

h h p y F

1

, (3.8.)

и на неотрицательность новых переменных:

³ 0 h y , h = 1,2,K,H , (3.9.)

критерии (3.4.) и (3.5.) сохраняются, а (3.6.) приобретает вид

( ) max

1 1

Σ - - Σ ®

= = h

H

h

h

j

J

j

j j p v x p y , (3.10.)

где h y - искомое дополнительное количество единиц обору-

дования в группе h ;

h b - годовой эффективный фонд времени работы единицы

оборудования из группы h ;

h p - цена единицы оборудования группы h ;

F - годовой фонд инвестиций в оборудование.

Во втором случае, как и в базовой модели, фонд времени экс-

плуатации оборудования считается заданным, но учитываются

различные технологические способы его использования, так что в

качестве переменных выступают не объемы выпуска каждого из-

делия, а объемы использования технологических способов, соот-

80

ветственно изменяются ограничения и критерии (3.1. - 3.6.). На-

пример, ограничение (3.1.) по спросу и заказам на продукцию

предприятия принимает вид:

Σ Σ

= =

£ £

H

h

j

Q

q

j j q h q d a z c

1 1

, , , j = 1,2,K, J , (3.11.)

где h q z , - время использования технологического способа q

на оборудовании вида h ;

j q a , - норма выпуска изделия j за единицу времени при тех-

нологическом способе q , q = 1,2,K,Q.

Если эту модель решать как переменную, то может оказаться,

что производство одного и того же изделия предусмотрено не-

сколькими технологическими способами. На некоторых предпри-

ятиях это недопустимо или нежелательно, тогда целесообразно

модифицировать ее в целочисленную.

Модели распределения транспортных потоков

Модели распределения транспортных потоков относятся к

классу моделей, используемых для решения задач по оптимизации

перевозок. В них, как правило, разыскивается оптимальный план

перевозок между некоторой совокупностью производителей L и

потребителей S однородного продукта. Предполагается, что каж-

дый поставщик l ÎL способен поставить в транспортную сеть не

более чем l b единиц продукта, а каждый потребитель sÎS должен

получить не менее чем s a единиц. Критерии могут быть различ-

ными, но наиболее часто минимизируется сумма транспортных за-

трат.

Существуют две основные формулировки этой задачи: в мат-

ричной и сетевой формах. При постановке в матричной форме за-

дача распределения транспортных потоков сводится к транспорт-

ной задаче линейного программирования. При сетевой постановке

задачи ее условия определяются на ориентированном мультиграфе

с множествами узлов L и ориентированных дуг G с тем условием,

что не пусты подмножества G+ l всех дуг, входящих в узел l и G- l -

всех дуг, выходящих из узла l . Такая система называется транс-

портной сетью.

Через l x обозначим величину потока на дуге g ÎG в соответ-

ствии с ее ориентацией и через cg - коэффициент транспортных за-

81

трат. Тогда транспортная задача в сетевой форме описывается со-

отношениями

Σ

g ÎG

min cg xg , (4.1.)

l x x a

l l

Σ - Σ ³

ÎG+ g ÎG-

g

g

g , xg ³ 0, l ÎL (4.2.)

Для разрешимости задачи необходимо

0 £ Σ

lÎL

l a . (4.3.)

Говорят, что величиной l a при положительном знаке опреде-

ляется мощность стока, а при отрицательном – мощность источни-

ка. Кроме того, в сети могут быть транзитные узлы, для которых

= 0 l a .

В случаях, когда неравенство (4.3.) выполняется строго, мо-

дель называется открытой, при выполнении же (4.3.) как равенства

– закрытой (замкнутой). Присоединяя к открытой задаче сток с

мощностью Σ

Î

= -

l L

l a a , и соединяя его ориентированными дугами

со всеми источниками, можно перейти от открытой задачи к за-

крытой. Для их эквивалентности достаточно потребовать, чтобы

на всех дополнительных дугах коэффициенты транспортных за-

трат были равны нулю. Иногда тот же прием используют и в несо-

вместной задаче, присоединяя ко всем ее стокам источник с мощ-

ностью -a . Затраты на дополнительных дугах в этом случае

должны вводится из экономических соображений. Например,

вследствие высокой стоимости приобретения продукта со сторо-

ны. Модели распределения транспортных потоков в сетевой по-

становке с одним источником и одним стоком единичной мощно-

сти, расположенными в некоторых вершинах сети l ¹ s , представ-

ляется задачу о минимальном маршруте.

Иногда – при отождествлении величины cg с расстояниями на

дугах rg - говорят также о маршрутах минимальной длины.

Если сеть моделирует реальную структуру перевозок, то

транспортные затраты должны рассчитываться в соответствии с

тарифами. Обычно тариф представляет функцию j (r ) , монотонно

не убывающую с ростом дальности перевозок r и субаддитивную,

т.е., если 1 2 r = r + r , то имеет место равенство

( ) ( ) ( ) 1 2 j r <j r +j r . (4.4.)

82

В силу (4.4.) нельзя определить на дугах сети никакой систе-

мы коэффициентов транспортных затрат с тем, чтобы сумма их на

любой последовательности дуг соответствовала тарифу. Поэтому

модели распределения транспортных потоков обычно решается в

два этапа.

На первом в реальной конфигурации сети определяют мар-

шрут минимальной длины между всеми возможными парами по-

ставщик – потребитель и по полученному набору дальностей – та-

рифные стоимости перевозок.

Затем на втором этапе ставится транспортная задача в мат-

ричной форме.

В сетевой задаче обычно существует много различных мар-

шрутов, связывающих пару узлов сети. Поэтому она допускает ог-

раничения на пропускные способности дуг

xg £ dg (4.5.)

Отмечая на сети два узла l ¹ s , можно дополнить условия

(4.2.), (4.5.) равенствами

0 = -Σ

- ÎGl

u x

g

g , 0 = - Σ

+ ÎG

x u

g s

g

и заменить критерий (4.1.) требованием max u .

Эта модель известна как задача о максимальной пропускной

способности сети.

Простейшая задача размещения на сети – это математиче-

ская формализация, используемая в процессе принятия решения

по выбору пунктов размещения предприятий, производящих од-

нородную продукцию для удовлетворения заданного спроса.

Пусть имеется m возможных пунктов размещения предприятий и

n пунктов потребления (точек спроса), m £ n, расположенных в

узлах сети G(V,U) , где { } n V v , ,v 1

= K - множество вершин,

{ } p U u , , u 1

= K - множество ребер сети. Заданы величины j b ,

j =1,K,n ; 0

i q , i = 1,K,m; ( ) i j c , , i = 1,K,m, j = 1,K,n, где

o j b = спрос в пункте потребления j ;

o 0

i q - затраты на ввод в действия предприятия i ;

o i c - стоимость производства единицы продукции в пункте

размещения i ;

83

o

i j c ,

- затраты на доставку единицы продукции из пункта

производства i в пункт потребления j .

Считается, что каждый потребитель обслуживается одним

предприятием. Целевая функция задачи – суммарные затраты на

размещение предприятий и обслуживание спроса – должна дос-

тигнуть минимума. Простейшая задача размещения на сети запи-

сывается в виде

[ ] min min

1, ,

,

1

0

m

i j

n

i j i

i q q

ÎÂ = ÎÂ ÂÌ K

Σ +Σ ® ,

где ( ) i, j i i i, j q = b c + c , i = 1,K,m, j = 1,K, n .

Простейшие задачи размещения на сети относят к числу

трудноразрешаемых (сложность задач дискретной оптимизации).

Для некоторых классов простейших задач размещения на сети по-

строены эффективные точные алгоритмы. Наиболее известными

являются задачи со связанными и с квазивыпуклыми матрицами

( i j q , ). Матрица ( i j q , ) квазивыпукла, если для всяких j = 1,K, n и

£ i < i < i £ m 1 2 3 1 , { } i j i j i j q q q , , , 2 1 3

£ max ; .

Матрица ( i j q , ) связана, если для всяких 1 £ i , k £ m разность

( ) i, j k , j q - q меняет знак не более одного раза при монотонном из-

менении j = 1,K, n . В общем случае для решения простейших за-

дач размещения на сети хорошо себя зарекомендовали методы

ветвей и границ. Для простейших задач размещения на сети играет

важную роль при построении математических методов решения

математической теории стандартизации задачи.

Для нелинейной простейшей задачи размещения на сети про-

изводственная функция ( ) i i q V - затраты на размещение предпри-

ятия i зависят от суммарного объема спроса i V , обслуженного из

этого предприятия. В случае кусочно-линейной, растущей, вогну-

той, производственной функции нелинейная задача размещения

сводится к простейшей задаче размещения на сети.

К распределительным относятся такие широко распростра-

ненные задачи, как транспортная задача линейного программиро-

вания, задача о назначениях и многие другие.

Обозначим:

84

¨ ij c - затраты на перевозку 1единицы однородного груза

вида i к пункту j ,

¨ ij x - количество этого груза i к пункту j ,

¨ i d - располагаемое количество груза вида i .

¨ ij a - цена за единицу груза вида i ;

¨ j b - объем продаж в стоимостном выражении в пункте i .

Задача заключается в составлении плана перевозок, обеспе-

чивающего удовлетворение спроса во всех пунктах в этих грузах

наиболее эффективным способом. Формально задача записывается

так. Требуется найти минимум линейной формы

ΣΣ

= =

=

n

j

m

i

ij ij F x c x

1 1

( )

при выполнении условий

Σ=

= =

m

i

ij ij j a x b j n

1

, 1,2K, , (5.1)

Σ=

£ =

n

j

ij i x d i m

1

, 1,2,K, , (5.2)

x i m j n ij ³ 0, =1, , =1, . (5.3.)

Линейная форма F(x) определяет суммарные транспортные

издержки на перевозку грузов. Ограничения (5.1) означают, что

объем доставленного в каждый пункт потребления груза должен

удовлетворять сложившийся там спрос. Условия (5.2) означают,

что количество, направляемого во все пункты потребления груза i ,

не должен превышать располагаемой величины i d .

В распределительной задаче нередко возникает необходи-

мость учитывать двусторонние ограничения на переменные моде-

ли. В терминах задачи, приведенной выше, двусторонние ограни-

чения переменных могут истолковываться, например, как ограни-

чения пропускных способностей коммуникаций и нецелесообраз-

ность перевозок недогруженным транспортом. В этом случае ог-

раничения (5.3) примут вид

ij ij ij x £ x £ x (5.4.)

Задача (5.1.)-(5.3.), (5.4.) называется распределительной зада-

чей с двусторонними ограничениями.

85

Сам термин распределительная задача, по видимому, связан

со следующей задачей распределения m видов изделий между n

предприятиями.

Задачи распределения могут решаться в статической (одно-

кратной) и в динамической постановке. В последнем случае часто

применяют методы стохастического программирования, в которых

принятие решений основано на вероятностных оценках будущих

значений параметров.

Контрольные вопросы

1. Приведите содержательные примеры задач распредели-

тельного типа.

2. Сформулируйте критерий задачи распределения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предлагаемый курс лекций дисциплине «Методы и модели в

экономике» призван дать студентам первоначальную подготовку в

области построения математических моделей и их применения для

решения практических задач управления. Успешное освоение

предлагаемых тем позволит, перейти студентам к изучению спе-

циализированных учебных курсов, предусмотренных программой

обучения.

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

Тест 1

1.Математическое моделирование – это

· математическая дисциплина, занимающаяся изучением экс-

тремальных задач и разработкой методов их решения.

· метод исследования, предполагающий построение некоторой

модели реального объекта, эксперименты с моделью, анализ ре-

зультатов эксперимента, применение к реальному объекту

· реализация экономической задачи с помощью современных

информационных технологий.

2. Агрегирование - преобразование исходной модели в модель с

меньшим числом переменных и/или ограничений?

1. да;

2. нет.

86

3. Взаимная задача строится с использованием следующего пра-

вила:

· матрица коэффициентов ограничений взаимной задачи явля-

ется транспонированной матрицей коэффициентов ограничений

исходной задачи;

· целевая функция исходной задачи во взаимной задаче стано-

вится ограничением, правая часть которого задается экспертным

путем или на основании опыта ЛПР (лица, принимающего реше-

ние);

· все ответы верны;

· нет правильного ответа.

4. В модели МОБ I квадрант описывает:

Перераспределение доходов и расходов;

Потребление конечного продукта;

Структуру добавочной стоимости;

Производственное потребление;

Нет правильного варианта.

5. По матрице оценок выберите вариант решения многокритери-

альной задачи:

(оценки строятся как отношение значения целевой функции к ее

максимальному значению)

f1(x) f2(x) f3(x)

Решение по первому критерию I 1 0,5 0,7 1 ˆx

Решение по второму критерию II 0,6 1 0,6 2 ˆx

Решение по третьему критерию III 0,5 0,7 1 3 ˆx

1 ˆx ; 2. 2 ˆx ; 3. 3 ˆx ; 4. Однозначный выбор сделать нельзя.

6. По отчету об устойчивости определите ресурс дополнитель-

ная единица которого даст наибольший прирост целевой функции

Ограничения

Результ. Теневая Ограничение Допустимое Допустимое

Ячейка Имя значение Цена

Правая

часть Увеличение Уменьшение

1 молоко натур 64100 0,839056758 64100 11665,9375 64100

2 молоко сухое 3148,828093 0 4800 1E+30 1651,171907

3 обезж молоко 4596,394447 0 5200 1E+30 603,6055533

4 масло слив 19130,71376 0 22360 1E+30 3229,286239

5 сахар 20717,15884 0 26240 1E+30 5522,84116

6 молоко сгущ 800 5,640506329 800 1115,023895 800

7

обезж сгу-

щенка 7910 1,759493671 7910 2384,241935 4008,387097

87

8 оборудование 651,4048591 0 720 1E+30 68,59514087

Тест 2

1. Определите правильное определение экономико-

математической модели. Экономико-математическая модель

это:

· математическое описание экономического процесса или объ-

екта, осуществленное в целях их исследования или управления

ими.

· специальная конструкция показателей и параметров, объеди-

няемая (в явном или неявном виде) системой уравнений в единое

целое.

· математическое отображение исследуемого экономического

объекта (процесса), с помощью которого изучается его функцио-

нирование и оценивается изменение его эффективности при воз-

можных изменениях входных характеристик.

· все ответы верны

2. Целевая функция задачи линейного программирования может

иметь вид:

1) 2x1+3x2+x3+x4→ max

2) 2x1+3x2+x3*x4 → max

3) возможны оба варианта.

3. При построении двойственной задачи используется одно из

следующих правил:

· целевая функция исходной задачи в двойственной задаче

становится ограничением, правая часть которого задается эксперт-

ным путем или на основании опыта ЛПР;

· матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи

является транспонированной матрицей коэффициентов ограниче-

ний исходной задачи;

· количество ограничений одной задачи равно количеству ог-

раничений другой задачи .

4. В модели МОБ II квадрант описывает:

· производственное потребление;

· структуру добавочной стоимости;

· перераспределение доходов и расходов;

· потребление конечного продукта;

· нет правильного варианта;

88

5. По матрице оценок выберите вариант решения многокритери-

альной задачи:

(оценки строятся как отношение значения целевой функции к ее

максимальному значению)

f1(x) f2(x) f3(x)

Решение по первому критерию I 1 0,7 0,7 1 ˆx

Решение по второму критерию II 0,6 1 0,8 2 ˆx

Решение по третьему критерию III 0,8 0,6 1 3 ˆx

1. 1 ˆx ; 2. 2 ˆx ; 3. 3 ˆx ; 4. Однозначный выбор сделать нельзя.

6. По отчету об устойчивости определите ресурс, не используе-

мый полностью

Ограничения

Результ. Теневая Ограничение Допустимое Допустимое

1 Ячейка Имя значение Цена

Правая

часть Увеличение Уменьшение

2 молоко натур 64100 0,839056758 64100 11665,9375 64100

3 молоко сухое 3148,828093 0 4800 1E+30 1651,171907

4 обезж молоко 4596,394447 0 5200 1E+30 603,6055533

5 масло слив 19130,71376 0 22360 1E+30 3229,286239

6 сахар 20717,15884 0 26240 1E+30 5522,84116

7 молоко сгущ 800 5,640506329 800 1115,023895 800

8

обезж сгу-

щенка 7910 1,759493671 7910 2384,241935 4008,387097

оборудование 651,4048591 0 720 1E+30 68,59514087

Ответ: укажите номер (номера) ресурса (ов)______

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная литература

1. Ильченко А.Н. Практикум по экономико-математическим

методам. М., «Финансы и статистика» 2009 – 287 с.

2. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических

процессов: Ростов на Дону, «Феникс_______».2005. – 409 с.

3. Лопатников Л. И. Экономико-математический словарь:

Словарь современной экономической науки. – 5-е издание,

переработанное и дополненное. – М.: Дело, 2007. – 520 с.

4. Трояновский В. М. Математическое моделирование в

менеджменте: Учебное пособие. 2-ое издание, исправленное и

дополненное. – М.: Издательство РДЛ, 2006. – 256 с.

89

5. Экономико-математический энциклопедический словарь /

Главный редактор В. И. Данилов-Данильян. – М.: «Большая

Российская энциклопедия», «ИНФРА-М», 2006, - 688с.

Дополнительная литература

6. Акофф Р. Л. Планирование в больших экономических

системах. - М.: Советское радио, 1972. - 224 с.: ил.

7. Ансофф И., Стратегическое управление., М.: Экономика.,

2005г.

8. Герловин И.Л. Основы теории всех взаимодействий в

веществе. - Л.: Энергоатомиздат, Ленингр. отделение,1990.-

432с.:ил.

9. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь.-

М.:Наука,2007, 510с.

10.Мильнер Б. З., Евенко Л. И., Рапопорт В. С.Системный

подход к организации управления.-М.:Экономика,2005 , 224с.

11.Раппопорт В.С. Развитие организационных форм

управления научно-техническим прогрессом в промышленности.

М.:Экономика,2004 , с.68-84

12.Тамм Б. Г., Пуусепп М. Э., Таваст Р. Р. Анализ и

моделирование производственных систем / Под общей редакцией

Б. Г. Тамма. – М.: Финансы и статистика,2005. – 191 с.: ил.

13.Шимко П. Д. Оптимальное управление экономическими

системами: Учебное пособие. – СПб.: СПбГИЭА, 2000. – 176 с.

ТЕРМИНОЛОГИЧЕКИЙ СЛОВАРЬ

Действующими факторами операции (управляемого меро-

приятия) называются объективные условия и обстоятельства, оп-

ределяющие ее особенности и непосредственно влияющие на ее

исход.

Критерием эффективности управленческого решения

(или выбранной стратегии) называется показатель требуемого

соответствия между результатом предпринимаемых действий и

целью операции.

Математической моделью называется формальные соот-

ношения, устанавливающие связь принятого критерия эффектив-

90

ности с действующими факторами операции, для которых опреде-

лена область их изменения.

Ограничения модели - запись условий, в которых действи-

тельны расчеты, использующие эту модель.

Операция – любое управляемое мероприятие, направленное

на достижение цели.

Переменная модели – переменная величина, включенная в

модель и принимающая различные значения в процессе решения

экономико-математической задачи.

Решением, связанным с выбранной математической мо-

делью, называется конкретный набор значений управляемых

(контролируемых) параметров.

Субъектом, проводящим модельное исследование (иссле-

дователь) может быть назван специалист или группа специали-

стов, осуществляющих разработку стратегий, математических мо-

делей, использующих различные критерии и понятия оптимально-

го выбора, методов исследования моделей в интересах сравнения

конкурирующих стратегий и отыскания среди них оптимальных.

Роль исследователя ограничивается подготовкой рекомендаций,

вытекающих из изучаемой модели.

91

ПРИЛОЖЕНИЕ

Извлечение из рабочей программы дисциплины