Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей

Цель: Сформировать у студентов представление о порядке

проведения модельного эксперимента и анализа полученных ре-

шений.

Интерпретация переменных экономико-математической мо-

дели

14

Переменная модели – переменная величина, включенная в

модель и принимающая различные значения в процессе решения

экономико-математической задачи.

Независимые переменные принимают значения координат

моделируемой системы.

Зависимые переменные (функции) выступают как результат

решения задачи. Либо, наоборот, по желательному значению

функции (функционала) критерия отыскивается в том или ином

смысле соответствующее ему сочетание управляемых переменных

(оптимальный план).

Управляемые переменные – это переменные модели, значения

которой подвергаются изменению в процессе поиска решения.

Собственно, наличие управляемых переменных отличает модели

нормативного или конструктивного типа, в том числе оптимиза-

ционные от описательных (дескриптивных) моделей. Смысл ре-

шения любой задачи состоит в отыскании такого вектора значений

управляемых переменных, при котором моделируемая система ве-

дет себя адекватно изменению среды, в которой она находится.

Частным случаем оценки адекватности поведения системы являет-

ся ее оптимум, т.е. экстремальное значение целевой функции.

Но в любой модели всегда, кроме управляемых переменных

присутствуют факторы, среди которых необходимо выделить

управляемые факторы и управляемые параметры.

Управляемый фактор – фактор, уровни которого・ целена-

правленно выбираются менеджером. Хотя это термин использует-

ся в том же смысле, что и управляемая переменная (переменная

модели), строго говоря, понятия переменная и фактор неравно-

значны. Значение управляемого фактора всегда фиксируется при

решении задачи, а значение переменной модели определяется.

Управляющие параметры – переменные величины (обычно

функции времени), определяющие направление и скорость изме-

нения управляемой системы. Управляющие параметры характери-

зуют решения, которые надо осуществлять в каждый момент вре-

мени, исходя из интервала между начальным и конечным состоя-

нием системы. Например, в задаче линейного программирования

роль управляющих параметров выполняют как коэффициенты в

целевой функции = Σ

j

j j f (x) c x , так и параметры i b в системе ог-

15

раничений a x b i m i

n

j

i j j , 1:

1

, Î £ Σ

=

. Значения управляющих парамет-

ров обеспечивают достижение наибольшей эффективности управ-

ляемого процесса, что может быть зафиксировано в значении це-

левой функции.

При этом принято различать экзогенные (от греч. корней exo -

снаружи, genos - происхождение) или входные (известные, рассчи-

тываемые вне модели) переменные, и эндогенные или выходные

(неизвестные, определяемые в процессе решения задачи и возни-

кающие в пределах самой моделируемой системы) переменные,

траектория изменения которых определяется в результате реали-

зации моделей. Разделение переменных на экзогенные и эндоген-

ные зависит от точки зрения автора модели и решаемой проблемы,

т.е. в одном случае переменная может быть экзогенной, а в другом

– эндогенной.

Суть использования экономико-математических моделей в

практических исследованиях в основном и заключается в прогно-

зировании поведения эндогенных переменных при определенных

допущениях относительно поведения экзогенных переменных.

Переменные, способные принимать некоторое ограниченное

число значений, т.е. определенные на дискретном множестве, на-

зываются соответственно дискретными переменными. Наоборот,

если переменная определена на непрерывном множестве и может

принять любое в его границах значение – она называется непре-

рывной.

В экономико-математических исследованиях используют не

только математические переменные, но и логические.

Формулировка экономико-математической модели сложное

и, вместе с тем, интересное занятие. И самую большую сложность

представляет составление системы ограничений. Предположим,

что выбрана переменная модели и определен критерий. И тут

можно заметить, что приемлемыми являются не все мыслимые

значения переменных. Соответственно приходится вводить

ограничения на значения переменных.

Формально, ограничения модели - запись условий, в которых

действительны расчеты, использующие эту модель. Ограничения

обычно представляет систему уравнений и неравенств, которые в

совокупности определяют область допустимых решений

16

(допустимое множество). Основное требование к допустимому

множеству: оно не должно быть пустым. Это обязательное

условие разрешимости модели, которое формально заключается в

совместности системы ограничений, в случае несовместности этой

системы допустимое множество является пустым.

На практике в качестве ограничений модели часто выступа-

ют: ресурсы сырья и материалов, инвестиции, возможные вариан-

ты расширения предприятия, спрос на готовую продукцию, техно-

логические uc284_uc2схемы・ и т.п.

Именно система ограничений позволяет представить объект

или явление с достаточной степенью детализации и с определен-

ной точки зрения, которая и является целью исследования

Как правило, если снять ограничения задачи, то, показатели

ее решения окажутся лучше, чем при решении, соответствующем

реальным условиям. И, наоборот, если сделать ограничения более

“жесткими” и тем самым сократить число возможных вариантов,

то решение окажется, как правило, хуже или может вообще

отсутствовать. В первом случае оно будет оптимистичным, во

втором случае - пессимистичным. Такой подход к оценке системы

ограничений открывает возможность приблизительного,

прикидочного решения некоторых оптимизационных задач: меняя

ограничения, можно оценить устойчивость решений-планов, или

диапазон значений, в пределах которых находится решение

задачи.

Таким образом, совместность системы ограничений -

обязательное условие разрешимости модели: в случае

несовместности этой системы допустимое множество является

пустым.

Задание того или иного ограничения является и заданием

возможности изменения или развития объекта. Наиболее часто ог-

раничения представляются в виде неравенства, например

f x x x x b n ( , , , , ) £ 1 2 3

K .

При этом именно величина b определяет возможности сис-

темы и тем самым предопределяет решение задачи. Так как часто

трудно задать эту величину, то она начинает рассматриваться ме-

неджером в качестве параметра, изменяя который можно получить

целый ряд решений. Последовательно анализируя полученные ре-

зультаты, выбирается то решение, которое наиболее соответствует

17

экономической ситуации. При этом каждое решение, полученное

при фиксированном значении параметра, с формальной точки зре-

ния является оптимальным. Следовательно, необходим анализ ка-

ждого решения оптимизационной задачи.

На рис. 2.1., 2.2. показаны некоторые важнейшие типы огра-

ничений модели определяющих область допустимых решений в

задачах математического программирования (для наглядности в 2-

х мерном пространстве). Все показанные графически ограничения

относятся к типу ограничений - неравенств. Что касается ограни-

чений-равенств, то они определяют область допустимых решений

как гиперповерхность (точка, линия) в n-мерном пространстве.

Экономико-математические ограничения разделяются также на

детерминированные (рис. 2.1, 2. 2.) и стохастические (2.3.).

Рис. 2.1.Линейные Рис. 2.2. Нелинейные

ограничения ограничения

Линейными ограничениями являются также оси координат.

Иначе говоря, в область допустимых решений (рис. 2.1.) здесь

входят все точки, удовлетворяющие ограничениям 1,2, и, кроме

того, отвечающие условию

0, 0 1 2 x ³ x ³

В последнем случае (рис.2.3) серия кривых АВС отображает

случайные реализации стохастического ограничения. Это

ограничение определяет область, в которой с определенной

вероятностью должно выполняться данной условие.

х2

x1

1

2

18

В моделях планирования ограничения снизу имеют смысл

плановых заданий, которые допустимо перевыполнять, ограниче-

ния сверху - смысл "квот" на выпуск тех или иных видов продук-

ции. При совпадении ограничений сверху и снизу менеджер эко-

номического объекта полностью лишается свободы принятия ре-

шений.

В системах моделей различаются:

_ общесистемные (или глобальные) ограничения модели,

имеющие силу для всей моделируемой экономической системы;

_ локальные ограничения для моделей отдельных

подсистем.

Несовместность локальных ограничений с общесистемными

приводит к неразрешимости системы моделей.

Pис. 2.3. Стохастическое ограничение

Еще одним свойством ограничения является его жесткость.

Жесткость ограничений характеризует степень их влияния на ре-

шение задачи. Ограничение является нежестким, если малые из-

менения параметра ограничения не отражаются на решении зада-

чи. Например, если спрос строго меньше предложения, то решение

задачи не зависит от общего объема возможного предложения то-

вара, так как имеющееся его количество превышает потребность в

нем, которая соответствует его использованию в оптимальной

точке.

A B C

19

Ограничение является жестким, если любое малое изменение

параметра ограничения приводит к изменению значения целевой

функции.

Таким образом, каждое ограничение, включаемое в состав

модели должно анализироваться. Причем некоторые, наиболее

часто встречающиеся ограничения даже рассматриваются отдель-

но и получили свои названия. Примером таких ограничений явля-

ются бюджетная линия и кривые безразличия.

Бюджетная линия - это линия возможностей потребления или

линия цен. Если отложить на оси абсцисс количество одного това-

ра, которые можно купить на имеющиеся средства, а на оси орди-

нат – то же самое для другого товара (рис. 2.4.), то прямая линия

1 AA , соединяющая указанные точки, покажет любую комбинацию

этих товаров, которую можно купить на данную сумму денег. Ес-

ли товары те же, но соответствуют другим суммам денег, бюджет-

ные прямые пройдут параллельно первой прямой, при меньшей

сумме – ближе к началу координат, при большей – дальше от него.

Рис. 2.4. Бюджетные линии, соответствующие разным уровням

дохода

Для других товаров (т.е. при ином соотношении цен) бюд-

жетные линии будут другие не обязательно параллельные к АА1.

Уравнение бюджетной линии представляется в виде

Одежда, ед.

Продукты питания, ед.

40

20

10

20 40 80

А

А1

20

( 1,2) 1 1 1 2 Z = p x + p x = Σ p x i = i i ,

где 1 2 x , x - количества товаров вида 1и 2;

1 2 p , p - их цены;

Z - общий расход.

Таким образом, при условии, что цены на оба товара посто-

янны, бюджетная линия обладает следующими свойствами, выте-

кающими из этого уравнения:

1. изображается прямой линией;

2. имеет отрицательный наклон;

3. наклон равен обратному соотношению (т.е. взятому с

отрицательным знаком) цен двух товаров;

4. при различных расходуемых суммах бюджетные линии

параллельны.

При изменении цен на товары, изменяется и бюджетная ли-

ния. Влияние изменения цены на один товар представлено на рис.

2.5.

Рис. 2.5. Влияние изменение цены одного товара на бюджетную

линию

Если товаров не два, а много, это соотношение преобразуется

в многотоварное бюджетное уравнение, которое широко применя-

ется в экономико-математическом моделировании: спроса и по-

требления, бюджетировании, в распределительных задачах. Но то-

Одежда, ед.

Продукты питания, ед.

40

20

10

20 40 80

21

гда границей, вдоль которой расход равен доходу, уже будет фи-

гурировать гиперплоскость многомерного пространства:

Σ=

=

n

i

i i Z p x

1

,

где n - количество видов товаров.

Условие, что денежные расходы на все товары или услуги

(или, в общем случае, ресурсы) не могут превышать денежного

дохода, т.е. выходить за пределы бюджетной линии, называется

бюджетным ограничением. Это ограничение записывается в виде

скалярного произведения

( p, x) £ I , т.е. p x I

n

i

i i £ Σ

=1

,

где p - вектор цен;

x - вектор, характеризующий количество товаров;

I = Z - доход_______, равный расходу.

Кривая безразличия представляет геометрическое место то-

чек пространства товаров, характеризующихся состоянием безраз-

личия с точки зрения равной полезности для потребителя и явля-

ется линией уровня для функции полезности этого потребителя.

Эта кривая также может рассматриваться как ограничение (рис.

2.6.).

С другой стороны, это графическая иллюстрация взаимоза-

меняемости товаров. На графике отложим по оси абсцисс количе-

ство одного товара (блага), по оси ординат – другого. Кривая без-

различия соединяет на этом пространстве координат все точки,

отображающие такие комбинации (ассортиментные наборы) това-

ров, что покупателю безразлично, какую из них покупать. Напри-

мер, потребителю безразлично, покупать ли шесть предметов x и

один предмет y (ситуация, показанная точкой A) или четыре

предмета x и два предмета y (точка B).

22

Рис. 2.6. Кривые безразличия потребления товаров x и y .

Совокупность наборов, безразличных данному (это наборы

A,B,C ) называется множеством безразличия. Кривых безразличия

может быть сколь угодно много (с учетом дискретности товаров).

Но чем дальше от начала координат, тем большие по объему набо-

ры товаров рассматриваются. Получается карта безразличия. Кри-

вая безразличия, лежащая выше и правее данной, представляет бо-

лее предпочтительные наборы товаров (например, кривая II более

предпочтительна по отношению к кривой I ). Кривые безразличия

имеют отрицательный наклон, причем их «крутизна» показывает

предельную норму замещения одного товара другим, кривые ни-

когда не пересекаются. Абсолютный наклон кривых уменьшается

при движении по ним вправо. Это означает, что кривые выпуклы к

началу координат.

Контрольные вопросы

1. Что такое переменная модели?

2. Какие классификации переменных модели вы знаете?

3. Дайте определение управляющей переменной и управляю-

щему фактору. Поясните в чем состоит разница между ними.

4. Что такое управляющие параметры?

y .

x

1 y

3 y

0

1 x 2 x 3 x

2 y

С

В

А

I II

III

23

5. Что такое совместимость системы ограничений и на что это

влияет

6. В чем отличие между детерминированных и стохастических

ограничений в экономико-математических моделях?