Минобрнауки России

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский государственный

инженерно-экономический университет»

Кафедра исследования операций в экономике

имени профессора Ю.А.Львова

Н.Ю. Вилло

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ

Конспект лекций

Специальности: 080502 – Экономика и управление на предприятии (по отраслям)

220701 – Менеджмент высоких технологий

Санкт-Петербург

2011

2

Допущено

редакционно-издательским советом СПбГИЭУ

в качестве методического издания

Составитель

ст. преп. Н.Ю. Вилло

Рецензент

канд. экон. наук, доц. В.Г. Поснов

Подготовлено на кафедре

Исследования операций в экономике имени проф. Ю.А.Львова

Одобрено научно-методическим советом СПбГИЭУ

Отпечатано в авторской редакции с оригинал-макета,

представленного составителем

 СПбГИЭУ, 2011

3

СОДЕРЖАНИЕ

Введение...............................................................................................4

Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования ........................ 4

Тема 2. Методы интерпретации экономических моделей ............ 13

Тема 3. Структуризация производственных систем как ............... 23

основа моделирования ...................................................................... 23

Тема 4. Методы системного моделирования .................................. 31

экономических задач ......................................................................... 31

Тема 5. Методы декомпозиции экономических систем ................ 44

Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации ................................. 51

Тема 7. Методы алгоритмического моделирования ..................... 59

Тема 8. Балансовые модели .............................................................. 67

Тема 9 Распределительные модели ................................................. 72

Примеры тестовых заданий .............................................................. 85

Список литературы ............................................................................ 88

Терминологичекий словарь .............................................................. 89

ПРИЛОЖЕНИЕ 1:

Извлечение из рабочей программы дисциплины ........................... 91

4

ВВЕДЕНИЕ

"Методы и модели в экономике" — одна из фундаментальных

дисциплин, формирующих профессиональное мышление экономиста.

Вместе с тем эта дисциплина дает специалисту инструментарий для

практической работы, так как моделирование является неотъемлемым

элементом системы управления предприятия.

Целями преподавания дисциплины являются:

— раскрыть теорию, методологию и методику использования

экономико-математических методов;

— привить навыки синтеза и анализа экономико-математических

моделей;

— определить роль и место экономико-математических методов в

моделировании производственной деятельности;

— научить анализировать конкретные социально-

экономические структуры, формулировать экономические

проблемы и выбирать соответствующий класс модели.

Конспект лекций построен в соответствии с рабочей про-

граммой и содержит девять тем. На каждую тему отводится два

часа аудиторных занятий, кроме темы 8 и 9, где рабочей програм-

мой предусмотрено по 1 часу.

Тема 1. Основные этапы и приемы моделирования

Цель: показать роль количественных методов в теоретической

экономике и хозяйственной практике. Показать концептуальных

модели в исследовании экономических закономерностей.

Первоначально математические методы или исследование

операций были определены как научный метод, дающий в распо-

ряжение руководителя количественные основания для принятия

решений, связанных с деятельностью подчиненных организаций.

Подчеркивалось, что речь идет о прикладной науке, применяющей

достижения других фундаментальных наук для анализа специфи-

ческих проблем совершенствования руководства

Математические методы в экономике – научная дисциплина,

занимающаяся разработкой и практическим применением методов

наиболее эффективного управления различными организацион-

ными системами.

5

При решении конкретной задачи управления применение ма-

тематических методов предполагает:

· изучение взаимосвязей, определяющих впоследствии

принятие решений, и установление критериев эффективно-

сти, позволяющих оценить преимущество того или иного

варианта действия;

· построение экономических и математических моделей

для задач принятия решения в сложных ситуациях или в ус-

ловиях неопределенности и их использование в качестве

инструмента управления.

Примерами применения математического моделирования мо-

гут служить следующие задачи.

Задача № 1. Для обеспечения высокого качества выпускае-

мых изделий на заводе организуется система выборочного контро-

ля. Требуется выбрать такие формы его организации – например,

назначить размеры контрольных партий, указать последователь-

ность контрольных операций, определить правила отбраковки, -

чтобы обеспечить необходимое качество при минимальных расхо-

дах.

Задача № 2. Для реализации определенной партии сезонных

товаров создается сеть временных торговых точек. Требуется вы-

брать параметры сети – число точек, их размещение, количество

персонала – так, чтобы обеспечить максимальную экономическую

эффективность распродажи.

Задача № 3. К заданному сроку необходимо провести массо-

вое медицинское обследование группы населения с целью выявле-

ния определенных заболеваний. На обследование выделены мате-

риальные средства, оборудование, персонал. Требуется разрабо-

тать такой план обследования – установить число медпунктов, их

размещение, вид и количество анализов, чтобы выявить как можно

больший процент из числа заболевших.

Приведенные задачи относятся к разным областям практики,

но в них есть общие черты: в каждом случае речь идет о каком-то

управляемом мероприятии (операции), преследующем определен-

ную цель. В каждой задаче заданы некоторые условия проведения

этого мероприятия, в рамках которых следует принять решение –

такое, чтобы мероприятие принесло определенную выгоду. Усло-

виями проведения операции в каждой задаче оказываются средст-

6

ва, которыми мы располагаем, время, оборудование, технологии, а

решение в задаче № 1 заключается в выборе формы контроля –

размера контрольных партий, правил отбраковки; в задаче № 2 – в

выборе числа точек размещения, количества персонала; в задаче

№ 3 – в выборе числа медпунктов, вида и количества анализов.

Понятие _______модели знакомо каждому: например: игрушечный

автомобиль, географическая карта. И, наверное, новым для многих

является то, что знакомая со школьных лет формула длины пути

s = vt - математическая модель.

Чтобы построить математическую модель, необходимо оце-

нить количественные проявления рассматриваемых факторов и

указать группы изменяемых параметров, формально представ-

ляющих эти факторы. Однако, следует иметь ввиду, что никаких

правил построения математических моделей не существует. Каж-

дая модель есть проявление знаний, опыта, искусства. Процесс

создания модели требует четкого осознания цели, проникновения

в существо моделируемых явлений, умения отделить главное, от

второстепенного. Математические модели могут иметь вид фор-

мул, систем уравнений или неравенств, а также таблиц, числовых

последовательностей, геометрических образов, отражающих зави-

симости между критерием эффективности операции и теми пара-

метрами, которые представляют учтенные действующие факторы.

Решением, связанным с выбранной математической мо-

делью, называется конкретный набор значений управляемых (кон-

тролируемых) параметров. Решение можно получить различным

путем, с различной степенью точности, в различных предположе-

ниях свойств неуправляемых (неконтролируемых) параметров, но

независимо от этого оно должно рассматриваться лишь как вспо-

могательный материал, нуждающийся в осмыслении и сопостав-

лениях. Ни одна формальная модель не может дать исчерпываю-

щих сведений о развитии реальных событий из-за практически

всегда присутствующих неконтролируемых факторов. Но полу-

ченные с помощью модели решения позволяют ориентироваться в

окружающей среде, вносить полезные уточнения в деятельность,

совершенствовать модель, анализировать различные стратегии,

выявлять второстепенные факторы планируемого мероприятия.

Субъектом, проводящим модельное исследование (иссле-

дователь) может быть назван специалист или группа специали-

7

стов, осуществляющих разработку стратегий, математических мо-

делей, использующих различные критерии и понятия оптимально-

го выбора, методов исследования моделей в интересах сравнения

конкурирующих стратегий и отыскания среди них оптимальных.

Роль исследователя ограничивается подготовкой рекомендаций,

вытекающих из изучаемой модели. Право окончательного выбора

ему не принадлежит, так как оно предоставляется менеджеру, от-

вечающему за проведение операции имеющему обычно дополни-

тельные соображения относительно допустимых (предпочтитель-

ных) стратегий, не говоря уже о том, что он имеет в своем распо-

ряжении ресурсы и наделен соответствующими полномочиями.

Таким образом, необходимо различать формальные решения, по-

лучаемые исследователем операций, и принципиальные (ответст-

венные) решения, принимаемые менеджерами. Желательно, чтобы

формальные решения были, как можно более полно отражены в

принципиальных решениях.

В создание современного математического аппарата и разви-

тие многих направлений исследования операций большой вклад

внесли российские ученые Л.В. Канторович, Н.П. Бусленко, Е.С.

Вентцель, Н.Н. Воробьев, Н.Н. Моисеев, Д.Б. Юдин и многие дру-

гие. Особо следует отметить роль академика Л. В. Канторовича,

который в 1939 г., занявшись планированием работы агрегатов

фанерной фабрики, решил несколько задач: о наилучшей загрузке

оборудования, о раскрое материалов с наименьшими потерями, о

распределении грузов по нескольким видам транспорта и др.

Л. В. Канторович сформулировал новый класс условно-

экстремальных задач и предложил универсальный метод их реше-

ния, положив начало новому направлению прикладной математи-

ки – линейному программированию.

Значительный вклад в формирование и развитие исследова-

ния операций внесли зарубежные ученый Р. Акоф, Р. Беллман, Г.

Данциг, Г. Кун, Дж. Нейман, Т. Саати, Р. Черчмен, А. Кофман и

др.

Методы исследования операций, как и любые математиче-

ские методы, всегда в той или иной мере упрощают, огрубляют за-

дачу, отражая порой нелинейные процессы линейными моделями,

стохастические системы детерминированными, динамические

процессы – статическими моделями и т.д.

8

Жизнь богаче любой схемы. Поэтому не следует ни преуве-

личивать значение методов исследования операций, ни преумень-

шать его, ссылаясь на примеры неудачных решений. Особенно

тщательно надо относится к формированию модели и выбору ме-

тода решения. Первый аспект тесно связан с адекватным описани-

ем моделируемого процесса, а во втором случае речь идет о гра-

ницах применения того или иного метода, так как каждый метод

имеет свои границы применения.

Уместно привести в связи с этим шутливо-парадоксальное

определение исследования операций, сделанное одним из его соз-

дателей Т. Саати, как “искусства давать плохие советы на те прак-

тические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими

методами”.

Основные этапы и приемы моделирования

Для применения количественных методов исследования тре-

буется построить математическую модель. При построении моде-

ли исходный объект, как правило, упрощается, схематизируется и

описывается с помощью того или иного математического аппарата

(различного рода функций, уравнений, систем уравнений и нера-

венств и т.п.). Составление модели требует понимания сущности

описываемого явления и знания математического аппарата.

Экономико-математическая модель – математическое описа-

ние исследуемого экономического процесса или объекта. Эта мо-

дель выражает закономерности экономического процесса в абст-

рактном виде с помощью математических соотношений. Исполь-

зование математического моделирования в экономике позволяет

углубить количественный экономический анализ, расширить об-

ласть экономической информации, интенсифицировать экономи-

ческие расчеты, принимать более обоснованные экономические

решения.

Условно можно выделить четыре основных этапа проведения

экономико-математического моделирования:

1. Построение модели. На этом этапе, ставятся цели и задачи

исследования, проводится качественное описание объекта в виде

экономической модели;

2. Модельный эксперимент. Здесь формируется математическая

модель изучаемого объекта, осуществляется выбор (или разработ-

ка) методов исследования, проводится программирование модели

9

на компьютере, подготавливается исходная информация. Далее

проверяется пригодность полученной модели на основании пра-

вильности получаемых результатов и оценка их устойчивости,

проведение расчетов, обработка и анализ полученных результатов.

3. Интерпретация результатов модельного эксперимента, осу-

ществляется перенос знаний о модели на знание об объекте.

4. Принятие управленческого решения, то есть воздействие на

объект исследования. По результатам анализа последствий приня-

того решения, происходит уточнение выбранной математической

модели.

Создавая математическую модель, исследователь стремиться

достичь относительной простоты результата и возможности его

всестороннего анализа, но, вместе с тем, учесть все существенные

факторы и детали.

Все факторы, входящие в описание операции, можно разде-

лить на две группы:

· постоянные факторы (условия проведения операции), на

которые нельзя оказать влияние. Обозначим их через

, ,K 1 2 a a ;

· зависимые факторы (элементы решения) , ,K 1 2 x x , кото-

рые в известных пределах можно выбирать по своему ус-

мотрению.

Например, в задаче об использовании ресурсов к постоянным

факторам следует отнести запасы ресурсов каждого вида, произ-

водственную матрицу, элементы которой определяют расход сы-

рья каждого вида на единицу выпускаемой продукции каждого

вида. Элементы решения – план выпуска продукции каждого вида.

Критерий эффективности, выражаемый некоторой функцией,

называемой целевой, зависит от факторов обеих групп, поэтому

целевую функцию Z можно записать в виде

( , , , , , ) 1 2 1 2

Z = f x x Ka a L .

Все модели исследования операций могут быть классифици-

рованы в зависимости от природы и свойств операции, характера

решаемых задач, особенностей применяемых методов.

Следует отметить, прежде всего, большой класс оптимизаци-

онных моделей. Такие задачи возникают при попытке оптимизи-

ровать планирование и управление сложными системами, в пер-

вую очередь экономическими системами. Оптимизационную зада-

10

чу можно сформулировать в общем виде: найти такие значения

переменных x , x , , xn 1 2

K , удовлетворяющие системе неравенств

(уравнений)

x x x b i m i n i ( , , , ) , 1,2, , 1 2

j K £ = K , (1)

которые обращают в максимум (или минимум) целевую

функцию

( , , , , , ) max(min) 1 2 1 2 Z = f x x Ka a L ® .

Условия неотрицательности переменных, если они есть, вхо-

дят в ограничения (1)

Как известно, упорядоченная совокупность значений n пере-

менных n x , x , , x 1 2

K представляется точкой n - мерного простран-

ства. В дальнейшем эту точку будем обозначать ( , , , ) 1 2 n X = x x K x ,

а само оптимальное решение ( , * , , * )

2

*

1

*

n X = x x K x .

Рассмотрим еще одну, характерную для исследования опера-

ций задачу – классическую задачу потребления, имеющую важное

значение в экономическом анализе.

Пусть имеется n видов товаров и услуг, количества которых

(в натуральных единицах) n x , x , , x 1 2

K по ценам соответственно

n p , p , , p 1 2

K за единицу. Суммарная стоимость этих товаров и ус-

луг составляет Σ

=

n

i

i i p x

1

.

Уровень потребления Z может быть выражен некоторой

функцией ( , , ) 1 2 n Z = f x x Lx , называемой функцией полезности. Необ-

ходимо найти такой набор товаров и услуг n x , x , , x 1 2

K при данной

величине доходов I , чтобы обеспечить максимальный уровень по-

требления, т.е.

( , , ) max 1 2 = ® n Z f x x Lx

при условии

p x I

n

i

i i £ Σ

=1

³ 0 i x (i = 1,2,K,n ).

Решения этой задачи, зависящие от цен n p , p , , p 1 2

K и вели-

чины дохода I , называются функцией спроса.

В тех случаях, когда функции i f j , хотя бы дважды диффе-

ренцируемы, можно применять классические методы оптимиза-

11

ции. Однако применение этих методов весьма ограничено, так как

задача определения условного экстремума функции n переменных

технически весьма трудна: метод дает возможность определить

локальный экстремум, а из-за многомерности функции определе-

ние ее максимального (или минимального) значения (глобального

экстремума) может оказаться весьма трудоемким – тем более, что

этот экстремум возможен на границе области решений. Классиче-

ские методы вовсе не работают, если множество допустимых зна-

чений аргумента дискретно или функция Z задана таблично. В

этих случаях для решения задачи применяются методы математи-

ческого программирования.

Классификация методов математического программирования

Если критерий эффективности ( , , ) 1 2 n Z = f x x Lx представля-

ет линейную функцию, а функции ( , , , ) i 1 2 n j x x K x в системе огра-

ничений также линейны, то такая задача является задачей линейно-

го программирования. Если, исходя из содержательного смысла, ее

решения должны быть целыми числами, то эта задача целочислен-

ного линейного программирования. Если критерий эффективности

и (или) система ограничений задаются нелинейными функциями,

то имеем задачу нелинейного программирования. В частности, если

указанные функции обладают свойством выпуклости, то получен-

ная задача является задачей выпуклого программирования.

Если в задаче математического программирования имеется

переменная времени и критерий эффективности выражается не в

явном виде как функция переменных, а косвенно – через уравне-

ния, описывающие протекание операций во времени, то такая за-

дача является задачей динамического программирования.

Если критерий эффективности и система ограничений зада-

ются функциями вида n

n cxa xa xa 1 2K

1 2 , , то имеем задачу геометриче-

ского программирования. Если функции i f j , зависят от парамет-

ров, то получаем задачу параметрического программирования. А,

если эти функции носят случайный характер, - задачу стохасти-

ческого программирования. Если точный оптимум найти алгорит-

мическим путем невозможно из-за чрезмерно большого числа ва-

риантов решения, то прибегают к методам эвристического про-

граммирования, позволяющим существенно сократить просматри-

12

ваемое число вариантов и найти, если не оптимальное, то доста-

точно хорошее, удовлетворительное с точки зрения практики, ре-

шение.

Из перечисленных методов математического программиро-

вания наиболее распространенным и разработанным является ли-

нейное программирование. В его рамки укладывается широкий

круг задач исследования операций.

По своей содержательной постановке множество других ти-

пичных задач исследования операций может быть разбито на ряд

классов.

Задачи сетевого планирования и управления рассматривают

соотношения между сроками окончания крупного комплекса опе-

раций (работ) и моментами начала всех операций комплекса. Эти

задачи состоят в нахождении минимальных продолжительностей

комплекса операций, оптимального соотношения величин стоимо-

сти и сроков их выполнения.

Задачи массового обслуживания посвящены изучению и ана-

лизу систем массового обслуживания с очередями заявок или тре-

бований и состоят в определении показателей эффективности ра-

боты систем, их оптимальных характеристик, например, в опреде-

лении числа каналов обслуживания, времени обслуживания и т.п.

Задачи управления запасами состоят в отыскании оптималь-

ных значений уровня запасов (точки заказа) и размера заказа. Осо-

бенность таких задач заключается в том, что с увеличением уровня

запасов с одной стороны, увеличиваются затраты на их хранение,

но с другой стороны, уменьшаются потери вследствие возможного

дефицита запасаемого продукта.

Задачи распределения ресурсов возникают при определенном

наборе операций (работ), которые необходимо выполнять при ог-

раниченных наличных ресурсах, и требуется найти оптимальные

распределения ресурсов между операциями или состав операций.

Задачи ремонта и замены оборудования актуальны в связи с

износом и старением оборудования и необходимостью его замены

с течением времени. Задачи сводятся к определению оптимальных

сроков, числа профилактических ремонтов и проверок, а также

моментов замены оборудования модернизированным.

Задачи составления расписания (календарного планирова-

ния) состоят в определении оптимальной очередности выполнения

13

операций (например, обработки деталей) на различных видах обо-

рудования.

Задачи планировки и размещения состоят в определении оп-

тимального числа и места размещения новых объектов с учетом их

взаимодействия с существующими объектами и между собой.

Задачи выбора маршрута, или сетевые задачи, чаще всего

встречаются при исследовании разнообразных задач на транспорте

и в системе связи и состоят в определении наиболее экономичных

маршрутов.

Среди моделей исследования операций особо выделяются

модели принятия оптимальных решений в конфликтных ситуаци-

ях, называемые теорией игр. Конфликтным ситуациям, в которых

сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих

разные цели, можно отнести ряд ситуаций в области экономики,

права, военного дела и т.п. В задачах теории игр необходимо вы-

работать рекомендации по разумному поведению участников кон-

фликта, определить их оптимальные стратегии.

На практике в большинстве случаев успех операции оценива-

ется не по одному, а сразу по нескольким критериям, один из ко-

торых следует максимизировать, другие – минимизировать. Мате-

матический аппарат может принести пользу и в случаях многокри-

териальных задач исследования операции, по крайней мере, по-

мочь отбросить заведомо неудачные варианты решений.

Контрольные вопросы

1. Назовите типы экономико-математических моделей.

2. Поясните понятие абстракции в экономико-математи-

ческом моделировании.

3. Дайте определение понятия ЭММ

4. Приведите пример классификации моделей.