Тема 6. Методы многоцелевой оптимизации

Цель: ознакомить студентов с методами преодоления про-

блемы многокритериального выбора. Получит навыки поиска не-

формального компромисса для решения многоцелевых моделей с

использованием дисплейного образа.

Эффективность функционирования экономических систем

любой степени сложности оценивается рядом технико-

экономических показателей. В этих условиях совершенно оче-

видно, что относительно высокое значение одного или даже не-

скольких _______показателей в таких системах вовсе не означает, что эти

экономические системы работают лучше других, так как уровень

остальных показателей у них может быть ниже, чем в других сис-

темах. Трудность выбора решения в условиях многоцелевой оп-

тимизации определяется не столько количеством критериев опти-

мизации и, тем более, вариантов решения, сколько их противоре-

чивостью.

В условиях естественной противоречивости критериев опти-

мальности, когда, в общем случае, невозможно обеспечить опти-

мальные значения по всем критериям одновременно, возникает

52

желание найти такой план, для которого была бы в определенном

смысле наилучшей совокупность этих значений по всем критери-

ям вместе взятым. Такие планы называют оптимальными компро-

миссными.

Идею поиска оптимального компромиссного плана рассмот-

рим на простейшем примере оптимизации двумерного критерия

f(x) = {f1(x), f2(x)} ® max, каждая составляющая которого пред-

ставляет функцию от одной переменной х, определенной на неко-

тором закрытом интервале [a, b]. Графики изменения составляю-

щих f1(x) и f2(x) представлены на рис. 6.1.

Очевидно, что поиск оптимального компромиссного плана в

данном конкретном примере целесообразен лишь на множестве

точек интервала [c, d], так как вне этого интервала решение может

быть улучшено сразу по обеим целевым функциям. План Х1 будем

считать лучше (предпочтительнее) плана Х2 и обозначать Х1 f Х2,

если хотя бы по одной компоненте целевой вектор-функции fs(X1) >

fs(X2), а по остальным компонентам fs(X1) ³ fs(X2). Это так называе-

мое улучшение по Парето

*, формулируемое очень просто: Следу-

ет считать, что любое изменение, которое никому не причиняет

убытков и которое приносит кому-то пользу (по их собственным

оценкам), является улучшением.

f1(x),

f2(x)

f1(x)

f2(x)

a c d b x

x2

x opt 1

opt

· · · ·

Рис.6.1. Иллюстрация определения оптимального

компромиссного плана:

* Вильфредо Парето (1848–1923) – ученик Леона Вальраса и его преемник на ка-

федре политической экономии Лозанского университета.

53

[c,d] – компромиссная область

Интервал [c,d] носит название множества Парето, или мно-

жества эффективных планов, и характеризуется теми важными

свойствами, что на нем ни одно решение не может быть улучшено

ни по одному из критериев без ущерба для других критериев.

Таким образом, множество Парето – это множество допустимых

планов, ни один из которых не может быть улучшен:

p ={X / $Y f X}.

Множественность эффективных планов является следствием

«взаимозаменяемости» (взаимокомпенсации) скалярных критери-

ев, позволяющей увеличивать одни компоненты за счет уменьше-

ния других. В этих условиях каждый эффективный план по-своему

исчерпывает возможность оптимизируемой экономической систе-

мы, реализуя определенный компромисс между частными целями.

Таким образом, если принципы выделения множества эффектив-

ных планов строго научны, не требуют какого-либо постулирова-

ния и, следовательно, лишены элементов произвола и субъекти-

визма, то определение на этом множестве оптимального компро-

миссного плана требует постулирования той или иной схемы ком-

промисса.

Многие специалисты считают поэтому, что более эффектив-

но было бы предоставить лицу, принимающему решение (ЛПР),

полное множество эффективных планов, по которым ЛПР на ос-

новании имеющегося опыта, здравого смысла и других, не под-

дающихся формализации процедур, выберет единственное реше-

ние.

С учетом этого на практике пользуются обычно некоторым

набором схем выбора компромиссного решения. Рассмотрим ос-

новные наиболее часто используемые в практических расчетах

схемы.

Метод последовательных уступок

1. Расположить критерии по убыванию их значимости.

2. Решить задачу по первому критерию ( ) 1 f x , то есть отыскать

субоптимальное

* решение ( ) . 1

opt

1

opt

1 f Х = F

* Субоптимальное решение – оптимальное решение по одной из частных целевых функ-

ций.

54

3. Сделать «уступку» по первому критерию, т. е. уменьшить

величину F1 до значения 1 1,

уст

1 F = k F 0 1 1 £ k £ .

4. Ввести в модель дополнительное ограничение

уст

f1 (x) ³ k1F1 = F1 .

5. Решить задачу по второму критерию ( ) 2 f x , т. е. найти су-

боптимальное решение ( ) opt

2

opt

f2 Х ** = F2.

6. Сделать уступку по второму критерию

2 2 ,

уст

2 F = k F 0 1 2 £ k £ .

7. Ввести в задачу дополнительное ограничение

уст

f 2 (x) ³ k2F2 = F2 .

8. Решить задачу по третьему критерию ( ) 3 f x

3

opt

3

opt

3 f (Х ) = F и т. д.

Субоптимальный план, найденный при решении последней

задачи, является оптимальным компромиссным планом в данной

схеме компромисса.

Ниже на рис. 6.2. приводится наглядная графическая иллюст-

рация данного метода для случая трех целевых функций. Метод

последовательных уступок, являясь чрезвычайно простым и по-

нятным в реализации, обладает, тем не менее, целым рядом недос-

татков, основными из которых являются:

1. Сложность и субъективизм в ранжировании критериев.

2. Субъективизм в задании величин уступок.

3. Степени достижения оптимума (безусловного) по всем

критериям, кроме первого, неопределены. Рассчитать их можно,

лишь решив исходные модели по соответствующим целевым

функциям (еще (S -1) задач) на глобальный оптимум.

** Обращаем внимание читателей на то, что для всех целевых функций, начиная со вто-

рой, оптимальные решения являются условными (в условиях сделанных ранее уступок).

55

·

F 1

·

x 2

X 1

o p t

·

x 1

F2

уст

F2

F 1

у с т

o p t

к о м п р X

· X 2

o p t

·

X 3

o p t

Рис. 6.2. Графическая иллюстрация метода последовательных

уступок

4. Поскольку уступка по последнему критерию не делается,

степень достижения оптимума по нему может оказаться совер-

шенно неудовлетворительной. Для «исправления» плана в этом

случае все расчеты должны быть повторены с другими (причем не

гарантирующими нужных окончательных результатов) коэффици-

ентами уступок.

Метод минимизации суммы относительных степеней

достижения цели

*

Общий вид модели, формализующей данную схему компро-

мисса, будет следующим:

  

  

-

- + - + +

s

s s

F

F f x

F

F f x

F

F f x ( )

...

( ) ( )

min

2

2 2

1

1 1

при g x b i i i ( ) £ ," ,

где s F – лучшее, оптимальное _______значение целевой функции s (s =1,S );

f (x) s – текущее значение целевой функции s ( s =1,S ).

* Данная схема компромисса представляет собой по существу формализованную

интерпретацию основного закона социализма, сформулированного И. Сталиным: «Обес-

печение максимального удовлетворения постоянно растущих материальных и культур-

ных потребностей всего общества путем непрерывного роста и совершенствования со-

циалистического производства на базе высшей техники» (Сталин И. Экономические

проблемы социализма в СССР. – М.: Госполитиздат, 1952).

56

Основным недостатком данной схемы является взаимоком-

пенсация влияния локальных целевых функций (показателей) на

целевую функцию глобальной модели.

Для устранения данного недостатка в модель должны быть

добавлены дополнительные ограничения, «следящие» за тем, что-

бы по определенному набору локальных целевых показателей не

были получены их недопустимые минимальные уровни.

Метод минимизации равных относительных степеней достиже-

ния цели

Если под компромиссным решением понимать такой план,

который по каждому целевому показателю обеспечивает одинако-

вые относительные отклонения от оптимальных решений, то соот-

ветствующая математическая модель, позволяющая найти это ре-

шение, будет иметь вид

  

  

-

- = - = =

s

s s

F

F f x

F

F f x

F

F f x ( )

...

( ) ( )

min

2

2 2

1

1 1

при g x b i i i ( ) £ ," .

Читателю предлагается самостоятельно привести модель к

линейному виду, считая, что целевые функции и функции затрат

всех ресурсов линейны.

Недостатки метода:

1. Уравнительный характер искомого компромиссного плана.

2. Наихудший (по степени достижения цели) показатель оп-

ределяет результаты по всем остальным компонентам целевой

вектор-функции.

Метод максимизации минимальной относительной степени дос-

тижения цели

Свободным от недостатков рассмотренных выше методов яв-

ляется метод, в котором компромисс формализуется как поиск ре-

шения, максимизирующего по всем показателям относительную

минимальную степень достижения цели.

Рассмотрим эту схему компромисса более подробно.

I этап. Все критерии делаются «однонаправленными», на-

пример, решаемыми на максимум. Достигается это изменением

знака на обратный в целевых функциях, соответствующих мини-

мизируемым показателям.

Получаем модель

57

f (x) = { f1(x); f 2 (x); ...; f s (x)}® max

при g x b i i i ( ) £ ," .

II этап. Исходная модель решается по каждой целевой

функции в отдельности, а результаты решения сводятся в таблицу

следующего вида:

Целе-

вые

функ-

ции

Оптимальные

планы

Целевые функции

f1(x) f2(x) … fs(x)

f1(x) opt

X1 ( ) opt

f1 X1 ( ) opt

f2 X1 … ( ) opt

1 f s X

f2(x) opt

X 2 ( ) opt

f1 X2 ( ) opt

f2 X2 … ( ) opt

2 f s X

… … … … … …

fs(x) opt

X s ( ) opt

f1 X s ( ) opt

f2 X s … ( ) opt

f s X s

Fs – max по столбцу F1 F2 … Fs

fs – min по столбцу f1 f2 … fs

Ds = Fs – fs D1 D2 … Ds

III этап. При решении одноцелевых задач «автоматически»

отыскивается наибольшая степень достижения цели. В случае же

многоцелевой оптимизации, как уже отмечалось, степень дости-

жения абсолютного оптимума не может быть наибольшей по всем

критериям сразу, а, следовательно, возникает проблема ее измере-

ния. В абсолютном измерении степень достижения цели по пока-

зателю s может быть рассчитана по формуле ( ( ) ) s s f x - f , т. е. как

степень удаления текущего значения функции от наименьшего ее

значения (от найденных субоптимальных планов). Графически это

выглядит следующим образом.

Поскольку компоненты целевой вектор-функции задаются в

различных единицах и масштабе, то для сопоставления различ-

ных степеней достижения цели при поиске компромиссного пла-

на их необходимо нормировать.

Нормирование степени достижения оптимума по критерию s

можно осуществить следующим образом:

s

f x f

x s s

s D

-

j = ( )

( ) , 0 £ (x) £1 s

j .

Введя функционал, формализующий понятие степени дости-

жения цели, приступим к формализации принятой схемы компро-

58

мисса, т. е., коль скоро невозможно достичь максимальной степе-

ни достижения цели по всем критериям сразу, зададимся целью,

чтобы наибольшей была минимальная по любому из критериев

степень достижения оптимума. Это означает, что если мы достиг-

ли максимума наихудшей степени достижения оптимума по како-

му-либо критерию, то по всем остальным критериям степень дос-

тижения цели будет не меньшей (равной или большей).

Многоцелевая модель, формализующая вышесказанное, долж-

на быть записана следующим образом:

max min s (x)

x s

j







j ³ j "

£ "

( ) min ( ), .

( ) , ,

x x s

g x b i

s

s

s

i i

Вводя новую переменную модели min s (x)

s

l = j , получим

x

l ®max







³ l "

D

-

£ "

, s.

( )

( ) , ,

s

f x f

g x b i

s s

i i

Или в окончательном виде:

x

l ®max

  

- D l ³ "

£ "

( ) , s.

( ) , ,

s s

i i

f x s f

g x b i

Полученная модель при линейности исходной модели явля-

ется также линейной с незначительным увеличением ее размер-

ности (на одну переменную и s дополнительных ограничений).

При решении многоцелевых задач у пользователя может поя-

виться желание отразить в модели неравнозначность (относитель-

ную важность) оптимизируемых целевых показателей. Сделать это

достаточно просто с помощью соответствующего вектора весовых

коэффициентов Î[0,1] s

a . Модель в этом варианте будет иметь сле-

дующий вид:

x

l ®max

  

- a D l ³ "

£ "

( ) , s.

( ) , ,

s s s

i i

f x s f

g x b i

59

Однако при использовании данного подхода значительную

сложность представляет обоснование величин s

a . Надежного, на-

учно обоснованного метода их получения нет. Вся тяжесть реше-

ния этой задачи ложится на принимающего решение. При этом,

как показывают исследования, компромисс, основанный на ис-

пользовании весов s

a , очень неустойчив: «малым» изменениям от-

дельных величин могут соответствовать очень «большие» измене-

ния в результатах решения. Практически это ставит под сомнение

целесообразность «взвешивания» целевых показателей с целью

учесть в модели их относительную важность.

В то же время использование весовых коэффициентов s

a

весьма эффективно при практической реализации настоящей мо-

дели в режиме диалога. Действительно, при анализе текущего

компромиссного плана возможна, например, ситуация перевыпол-

нения установленных заданий по одной группе показателей и не-

довыполнения – по другой. В этом случае, последовательно

уменьшая в режиме диалога весовые коэффициенты по первой

группе показателей, целесообразно продолжить поиск рациональ-

ного решения, удовлетворяющего пользователя. Правда, при этом

необходимо помнить о высокой «неустойчивости» результатов от-

носительно весовых коэффициентов.

Контрольные вопросы.

1. Поясните понятие множество Парето.

2. В чем заключается алгоритм метода уступок?

3. Приведите примеры задач, при решении, которых необхо-

димо применять несколько критериев.