- •49 Петля Гистерезиса.
- •48. Электрическое поле в диэлектриках
- •47 Диполь в электрическом поле
- •46. Поле диполя
- •36. Распределение Больцмана
- •34. Распределение молекул по скоростям Максвелла.
- •Основное уравнение мкт
- •[Править]Вывод основного уравнения мкт
- •[Править]Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы
- •27. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •[Править]Осевой момент инерции
- •[Править]Теорема Гюйгенса-Штейнера
- •[Править]Осевые моменты инерции некоторых тел
- •16. Динамика вращательного движения
- •15. Вращение вокруг неподвижной оси
- •Определение
- •Основные понятия
- •[Править]Синхронизация времени
- •[Править]Линейность преобразований
- •[Править]Согласование единиц измерения
- •[Править]Изотропность пространства
- •[Править]Принцип относительности
- •[Править]Постулат постоянства скорости света
- •[Править]Непротиворечивость теории относительности
- •Третий закон Ньютона
- •[Править]Современная формулировка
- •4. Криволинейное движение
- •1 Кинематика поступательного движения
- •2. Кинематика вращательного движения.
[Править]Осевой момент инерции
Осевые моменты инерции некоторых тел.
Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:
,
где:
-
mi — масса i-й точки,
-
ri — расстояние от i-й точки до оси.
Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движениивокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.
,
где:
-
dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,
-
ρ — плотность,
-
r — расстояние от элемента dV до оси a.
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
[Править]Теорема Гюйгенса-Штейнера
Основная статья: Теорема Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен
,
где — полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
[Править]Осевые моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения |
|||
Тело |
Описание |
Положение оси a |
Момент инерции Ja |
Материальная точка массы m |
На расстоянии r от точки, неподвижная |
||
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m |
Ось цилиндра |
||
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m |
Ось цилиндра |
||
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1 |
Ось цилиндра |
||
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m |
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |
||
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиусаr и массы m |
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс |
||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m |
Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс |
||
Прямой тонкий стержень длины l и массы m |
Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец |
||
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m |
Ось проходит через центр сферы |
||
Шар радиуса r и массы m |
Ось проходит через центр шара |
||
Конус радиуса r и массы m |
Ось конуса |
|
18.?
17. Теоре́ма Гю́йгенса — Ште́йнера, или просто теорема Штейнера (названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера и голландского математика, физика и астрономаХристиана Гюйгенса): момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела JC относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где
JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,
J — искомый момент инерции относительно параллельной оси,
m — масса тела,
d — расстояние между указанными осями.
[править]Вывод
Момент инерции, по определению:
Радиус-вектор можно расписать как разность двух векторов:
,
где — радиус-вектор расстояния между старой и новой осью вращения. Тогда выражение для момента инерции примет вид:
Вынося за сумму , получим:
Поскольку старая ось проходит через центр масс, то суммарный импульс тела будет равен нулю:
Тогда:
Откуда и следует искомая формула:
,
где JC — известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.
[править]Пример
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню, (назовём её осью C) равен
Тогда согласно теореме Штейнера его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен
где d — расстояние между искомой осью и осью C. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти положив в последней формуле d = L / 2: