1. Случайные события и операции над ними.

Результат эксперимента или наблюдения, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием. Кратко случайные события называются просто событиями. Обозначаются они обычно заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д.

Событие называется достоверным, если оно при реализации данного комплекса условий непременно произойдет.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не может произойти при реализации данного эксперимента.

Например, появление положительного числа очков при бросании игральной кости (шестигранного кубика) – событие достоверное, а появление 10 очков при одном бросании – невозможное событие.

Достоверное событие принято обозначать буквой U, а невозможное – буквой V.

Под множеством элементарных событий задачи понимают полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента. Осуществление одного исхода исключает реализацию других, и результатом опыта всегда является один и только один элементарный исход.

Пример 1.1. При бросании игральной кости непременно произойдет одно из элементарных событий e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆, где через e_i обозначено выпадение конкретного числа очков i. Эти события образуют множество элементарных событий E=e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆. Все исходы данного эксперимента могут быть представлены как подмножества E. Пусть событие A – «появление четного числа очков при бросании игральной кости». Это событие произойдет, если произойдет одно из событий e₂, e₄, e₆. Множество этих событий является подмножеством E. Если событие B состоит в появлении числа очков, большего четырех, то B наступит, если произойдет событие e₅ или e₆. Таким образом, событие A может быть представлено подмножеством e₂, e₄, e₆, а событие B – подмножеством e₅, e₆.

Если сравнить межу собой события e₂ и А, например, то можно сказать, что e₂ влечет за собой А (если произошло e₂, то произошло и А). В этом случае говорят, что e₂ благоприятно для А и пишут e₂ А или Аe₂.

Построение множества элементарных событий E (если оно не задано при описании эксперимента) при решении некоторой задачи на практике осуществляется таким образом, чтобы все интересующие нас результаты данного опыта однозначно описывались с помощью элементов E. Если нас интересуют события A, B, C и т.д., которые наблюдаются в эксперименте, то множество E должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества E, равносильные событиям A, B, C и т.д.

Поскольку при таком подходе события отождествляются с множествами, то над событиями можно совершать операции, аналогичные операциям над множествами.

Заметим, что событие, соответствующее пустому множеству  - невозможное, а событие, соответствующее всему множеству E – достоверное.

Операции над событиями.

Если событие В происходит всякий раз, как происходит событие А, т.е. событие А влечет за собой событие В, или событие А благоприятно для В, то пишут АВ.

Если событие В совпадает с событием А (то есть АВ и одновременно ВА), то говорят, что В тождественно А и пишут В=А.

Суммой событий А и В называется событие А+В, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А или В (не исключается и случай, когда они оба происходят). Сумме событий соответствует объединение множеств.

Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном осуществлении событий А и В. Произведению событий соответствует пересечение множеств.

Говорят, что события А и В несовместны, если АВ=V, т.е. события не могут произойти одновременно.

Разностью событий А и В называется событие А-В, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит. Разности событий соответствует разность множеств.

Событие называется событием, противоположным А. Оно состоит в том, что А не происходит.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 1.2. По мишени произведено три выстрела. Пусть событие А₀ состоит в том, что попаданий нет, событие А₁ – в том, что произошло одно попадание, А₂ – в том, что произошло два попадания, А₃ соответствует трем попаданиям. Рассмотрим событие А - «произошло не больше двух попаданий».

Очевидно, что А₀А, А₁А, А₂А. Кроме того, А₀+А₁+А₂=А.

События А₀ и А₁, например, несовместны (они не могут произойти одновременно), т.е. А₀ А₁=V.

Понятно, что А₁А=А₁ (если произошли одновременно события А₁ и А, то это значит, что произошло событие А₁).

А₃ является событием, противоположным событию А (если А не происходит, т.е. из трех выстрелов произошло больше двух попаданий, то значит, произошло А₃).

Событие А-А₂ состоит в том, что произошло не больше двух попаданий, но не два ровно, т.е. стрелок попал в цель один раз или не попал ни одного раза, поэтому А-А₂= А₀+А₁.

Приведем еще три важных определения.

Если сумма событий А₁, А₂, …, А_n – достоверное событие, то есть А₁+А₂+…+А_n=U, то говорят, что события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу событий.

Если никакие два события из А₁, А₂, …, А_n не могут произойти одновременно, т.е. А_iA_j=V при ij, где i и j меняются от 1 до n, то говорят, что события А₁, А₂, …, А_n попарно несовместны.

Если события А₁, А₂, …, А_n во-первых, образуют полную группу событий, и во-вторых, попарно несовместны, то говорят, что они образуют полную группу попарно несовместных событий.