1. Высказывания и логические операции над ними. Формулы алгебры логики

Понятие высказывания является основным неопределяемым понятием математической логики. Под высказыванием понимают любое повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическое значение высказывания «истина» («ложь») обозначается или буквой и, (л) или цифрой 1, (0). Высказывания обычно обозначают малыми латинскими буквами.

Отрицанием высказывания а называется высказывание ā, которое истинно, если а ложно, и ложно, если а истинно. Высказывание ā читается так: «Не а». Таблица истинности для а имеет вид:

А	Ā
1	0
0	1

Конъюнкцией высказываний a, b называется высказывание

a Λb (a &b), которое истинно, если a и b истинны и ложны, если хотя бы одно из них ложно. Высказывание a и b читается «a и b».

Дизъюнкцией высказываний a ,b называется высказывание, а v b, которое истинно, если хотя бы одно из высказываний а и b истинно, и ложно, если оба они ложны. Читается: «а или b».

Импликацией высказываний a ,b называется высказывание

a →b, которое ложно, если а истинно и b ложно, и истинно во всех остальных случаях. Читается: «Если а то b».

Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказываний a ,b называется высказывание a↔ b, которое истинно, если оба высказывания а и b одновременно истинны или ложны, и ложно во всех остальных случаях. Читается: “ а тогда и только тогда, когда b”.

Таблица истинности для этих логических операций такова:

а	b	a Λ b	а v b	a →b	a↔ b
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Все высказывания можно разделить на простые (или элементарные) и составные (или сложные).

Всякое сложное высказывание, которое может быть получено из элементарных высказываний посредством применения выше определенных пяти логических операций, называется формулой алгебры логики.

Формулы алгебры логики будем обозначать большимим латинскими буквами. Логические значения формулы при различных комбинациях значений входящих в нее высказываний можно описать посредством таблицы, которая называется таблицей истинности формулы.

Формула А, всегда истинная, называется тождественно истинной формулой или тавтологией и записывается А=1. Формула В, всегда ложная, называется тождественно ложной формулой и зыписывается В=0.

Пример 1. Среди следующих предложений выделить высказывания, установить, истинны они или ложны:

1. река Волхов впадает в озеро Ильмень;

2. всякий человек имеет брата;

3. пейте томатный сок!

4. Не существует человек, который моложе своего отца;

5. который час?;

6. ни один человек не весит более 1000кг;

7. 23<5;

8. для всех действительных чисел x и y верно равенство

x+ y = y +x;

9. x² -7x +12;

10. x² -7x +12=0.

Решение. Легко видеть, что высказывания 4), 6), 8) – истинные, а высказывания 1), 2), 7) – ложные. Предложения 3), 5), 9), 10) – не являются высказываниями.

Пример 2. Пусть a – высказывание “Студент Иванов изучает английский язык”, b – высказывание “Студент Иванов успевает по математической логике”. Дать словесную формулировку высказываний:

1. а Λ b ; 2) a →b; 3) b ↔ a.

Решение. а) Студент Иванов изучает английский язык и не успевает по математической логике”; б) “если студент Иванов изучает английский язык , то он успевает по математической логике”; в) “Студент Иванов не успевает по математической логике тогда и только тогда, когда он не изучает английский язык”.

Пример 3. Составить таблицу истинности для высказывания а v b.

Решение. Таблица истинности для высказывания а v b имеет вид:

а	b	b	а v b
1	1	0	1
1	0	1	1
0	1	0	0
0	0	1	1

Задание 1. Решить задачу, составив формулу алгебры высказывания и таблицу истинности для данной формулы:

Пример №4

Предприниматель решил приобрести компьютеры для своей фирмы. При этом он основывался на рабочую способность ПК. Он решил приобрести ПК марки (Р1; Р2) в магазине и марки (р3; р4) доставка по почте.

Найти рациональное решение приобретения ПК, если известно, что:

• для бухгалтерии нужны Р1; Р2 или Р3

• для менеджмента нужны Р1 или Р2; Р4

• для фотоотдела нужны Р2; Р3 или Р4

• для собственного кабинета нужны Р4; Р3 или Р1

Решение:

(Р1 Р2Р4) (Р2Р4Р1) (Р2Р3Р4) (Р4Р3Р1)  А1

№строки	Р1	Р2	Р3	Р4	Р2Р4	Р1Р2Р4	Р2Р3	Р2Р3Р4	Р3Р4	Р1Р3Р4	Р1Р2	Р1Р2Р3	А
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	0	0	1	1	1	0	1	1	1	1
3	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1	1	1	1
4	1	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	1	0
5	1	0	1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	1
6	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	0	1	0
7	1	0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0	0
8	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0
9	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1
10	0	1	1	0	0	0	1	1	0	0	0	1	0
11	0	1	0	1	1	1	0	1	0	1	0	0	0
12	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
13	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	0	1	0
14	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
15	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0	0	0
16	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Оптимальным решением будет покупка Р1 – в магазине, и покупка Р4 – по доставке — это обязательно.

Покупка Р2 и Р3 – это дополнительно.

Вариант 1.

Фирма для более эффективной работы решила снабдить свои отделы необходимой литературой. Для этого она воспользовалась услугами почты – подписалась на 2 журнала(1, 2), а еще 2 журнала покупать ежемесячно (3,4).

Найти рациональное решение приобретения литературы, если известно что:

• для отдела 1 необходимы журналы Ж1, Ж2 или Ж3

• для отдела 2 необходимы журналы Ж1 или Ж2, Ж4

• для отдела 3 необходимы журналы Ж2, Ж3 или Ж4

• для отдела 4 необходимы журналы Ж4, Ж3 или Ж1

Вариант 2.

На предприятии в 3-х основных производственных цехах: Ц1, Ц2,Ц3 необходимо переоснастить или, где это надо, вообще полностью заменить оборудование: О1, О2, О3, О4.

Причем для:

• Ц1 применимо О1 или О2,О4

• Ц2 применимо О3 и О4

• Ц3 применимо О1 и О2 или О4

Найти рациональное решение для нахождения наилучшего варианта разрешения проблемы замены или переоснащения оборудования.

Вариант 3. Составить таблицу истинности для функции вида:

((x v y)(x ∧y v x y );

Вариант 4. Составить таблицу истинности для функции вида:

x ∧y( y∧ xz);

Вариант 5. Составить таблицу истинности для функции вида:

(x₁ x₂ ) (x₁ v x₂ ∧x₃);

Вариант 6. Составить таблицу истинности для функции вида:

(x v z) ∧(y (u x ));

Задание 2. Пусть x=0, y=1, z =1. Определить логические значения нижеследующих сложных высказываний:

Вариант 1.

x ∧(y∧ z );

Вариант 2.

(x ∧y)∧ y;

Вариант 3.

x(y  z);

Вариант 4.

x ∧y z ;

Вариант 5.

(x ∧y )( z v ˥y);

Вариант 6.

((x v y) ∧ z)(( x ∧ z) v(y∧ z)).