ms_labs

невизначена і має нескінченну множину розв’язків.

У випадку, якщо т > п и система є сумісною, то матриця A має принаймні m n лінійно залежних рядків. Тоді розв’язок може бути отриманий відбором n будь-яких лінійно незалежних рівнянь (якщо вони існують) и застосуванням формули (4) (система n лінійних рівнянь з n невідомими), тобто може бути зведена до раніше розв’язуваних задач. При цьому отриманий розв’язок буде задовольняти і решті m n рівнянням.

Проте, за наявності комп’ютера зручніше використовувати більш загальний підхід – метод найменших квадратів. Для цього обидві частини матричного рівняння системи (3) помножимо зліва на транспоновану матрицю системи AT

Приклад 1. Розв’язати систему

6x 2 y 7,4x 5 y 40,

3x 3y 3.

Розв’язок.

1. Ввести матрицю A (в даному випадку розміром 3 2 ) в діапазон А1:В3

51

2. Знайти транспоновану матрицю AT . Для цього:

виділити блок комірок під транспоновану матрицю. Його розмір в даному прикладі буде 2 3. Наприклад, якщо виділити блок А4:С5 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші мишки);

натиснути на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка

функции;

в діалоговому вікні Мастер функций на робочому полі Категорія вибрати Ссылки и массивы, а в робочому поле Функция ім’я функції ТРАНСП i клацніть ОК;

відсуньте мишкою в бік від вихідної матриці діалогове вікно ТРАНСП

і введіть діапазон вихідної матриці А1:ВЗ в рабочее поле Массив (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші). Після цього натисніть сполучення клавиш СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR;

якщо обернена матриця не появилась в диапазоне АЗ:В4, то треба клацнути вказівником мишки в Строке формул і повторити натискання клавіш

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

Врезультаті в діапазоні А4:С5 появиться транспонована матриця AT ;

3.Щоб знайти добуток AT B потрібно:

виділити блок комірок під результуючу матрицю (під вектор ATB ). Її розмірність має бути n 1, в даному прикладі 2 1. Наприклад, виділіть блок комірок Е4:Е5 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші);

натисніть на панелі інструментів Стандартная кнопку Вставка функции;

в діалоговому вікне Мастер функций на робочому полі Категория виберіть Математические, а на робочому полі Функция ім’я функції МУМНОЖ. Клацніть на кнопці ОК;

діалогове вікно ММНОЖ мишкою відсуньте в бік від вихідних матриць і введіть діапазон транспонованої матриці AT – А4:С5 в

52

робоче поле Массив1 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші), а діапазон матриці B – С1:С3 – в робоче поле Массив2. Після цього натиснути сполучення клавіш СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR;

якщо вектор ATB не появився в діапазоні Е4:Е5, то треба клацнути вказівником мишки в рядку формул і повторити натискання

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

Врезультаті, в діапазоні Е4:Е5 появиться вектор

Аналогічно знаходимо добуток AT A :

виділіть блок комірок результуючу матрицю ATA . Її розмірність буде n n , в даному прикладі 2 2 . Наприклад, виділіть блок комірок А7:В8 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші);

далі поступають так, як описано в пункті 3, вказуючи відповідні діапазони.

Врезультаті в діапазоні А7:В8 появиться матриця AT A :

4.Знаходимо обернену матрицю ATA 1 . Для цього необхідно:

виділити блок комірок під обернену матрицю. Наприклад, блок А10:В11 (вказівником миші при натиснутій лівій клавіші);

натиснути на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі Категорія вибрати пункт Математичні, а в робочому полі Функція - ім'я функції МОБР. Потім клацнути на кнопці ОК;

мишею відсунути убік від вихідної матриці діалогове вікно МОБР, що з'явилося і ввести діапазон вихідної матриці AT A – А7:В8 в робоче поле Масив (покажчиком миші при натиснутій лівій клавіші). Після цього натиснути клавіші CTRL+SHIFT+ENTER;

якщо обернена матриця не з'явилася в діапазоні А10:В11, треба клацнути покажчиком миші в рядку формул і повторити натискання

CTRL+SHIFT+ENTER.

53

В результаті, в діапазоні А10:В11 з'явиться обернена матриця ATA 1

знаходимо вектор X . Для цього треба:

виділити блок комірок під результуючу матрицю (під вектор Х) . Її розмірність буде n 1, в даному прикладі 2 1. Наприклад, можна виділити блок комірок D1:D2 (покажчиком миші при натиснутій лівій клавіші);

натиснути на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі Категорія виберіть пункт Математичні, а в робочому полі Функція – ім'я функції МУМНОЖ, Клацніть на кнопці ОК;

діалогове вікно МУМНОЖ, яке з'явилося, відсуньте мишею убік від вихідних матриць і введіть діапазон оберненої матриці ATA 1 – А10:В11 в робоче поле Масив1 (покажчиком миші при натисненні лівої клавіші), а діапазон матриці ATB – Е4:Е5 – в робоче поле Масив2. Після цього натисніть поєднання клавіш

CTRL+SHIFT+ENTER;

якщо вектор X не з’явиться в діапазоні D1:D2, то треба клацнути покажчиком миші в рядку формул і повторити натискання

CTRL+SHIFT+ENTER.

Врезультаті в діапазоні D1:D2 з'явиться вектор X , Причому x 5 буде знаходитися в комірці D1, а y 4 – в комірці D2.

Можна здійснити перевірку знайденого розв’язку. Для цього знайдений розв’язок X треба підставити в початкове матричне рівняння A X B, причому досить підставити X в будь-які n рівнянь.

Хід роботи

1.Отримати завдання і на окремому листі ввести значення коефіцієнтів, змінних та вільних членів.

2.Ознайомитися з порядком розв’язку наведених прикладів.

54

3.Розв’язати задані системи оптимально і разом з тим візуально доречно розмістити зображення проміжних розрахунків, забезпечивши максимально зрозумілу і чітку інтерпретацію самих розв’язків.

4.Оформити звіт.

У звіті, за загальною формою, подати назви інституту, кафедри, дисципліни, і лабораторної роботи. Вказати шифр групи, прізвище та ім’я виконавця та викладача, який приймає роботу. Далі подати завдання та процедуру розв’язку, обмежуючи кількість скриншотів.

6. Розв’яжіть системи рівнянь:

11x 13y 17z 19u 23t 32

Варіанти систем лінійних алгебричних рівнянь наведені нижче.

55

Правильність отриманих розв’язків легко перевірити. В результаті розв’язання вибраної СЛАР трьома різними способами мають бути отримані три однакових розв’язки. Приведені розв’язки систем 1)-15):

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3

ВИЗНАЧЕННЯ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОБУДОВИ ГІСТОГРАМИ

ВСТУП

Основне положення теорії імовірності стверджує – будь-яка випадкова величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Тому визначення виду самого закону розподілу та його параметрів є першим кроком до моделювання сукупності випадкових величин.

Визначення виду розподілу може бути здійснено двома шляхами. Перший, це емпіричний вибір одного конкретного розподілу з цілої низки

кандидатів, на підставі відповідних критеріїв. Основними вимогами тут є максимальна відповідність даним та простота обчислення параметрів і подальшого його використання.

Другий шлях полягає в теоретичному обґрунтуванні, а точніше, в теоретичному виведенні або в математичному доведенні відповідності деякого

57

конкретного розподілу отриманим даним. У відповідальних ситуаціях, як правило, використовують послідовно обидва ці підходи.

Обробка експериментальних даних, як методологія побудови математичних моделей результатів досліджень, в цьому плані, пропонує для визначення виду розподілу гістограм ний підхід. Суть цього підходу полягає в тому, що здійснюється групування даних і визначається значення частості їхньої появи в кожному з цих інтервалів. Обвідна значень цих частостей дає наближений вигляд функції щільності розподілу цих даних. Проте, це лише наближений вигляд, який може, в залежності від способу групування дати підстави щодо використання цілої низки різних розподілів. Правильно обґрунтований гістограмний підхід суттєво збільшує шанси вказати відповідний закон розподілу даних з огляду на їх природу.

Крім того, маючи графік функції щільності, легко можна отримати графік кумуляти – кривої закону розподілу і апроксимувати її не функцією щільності, а функцією закону розподілу, уникнувши можливих помилок.

Тому, апроксимація конкретною функцією закону розподілу, з метою визначення його параметрів, є важливим результатом статистичної обробки даних та побудови їхньої математичної моделі.

Мета даної лабораторної.

Визначити параметри законів розподілу експериментальних даних поданих часовими послідовностями на підставі побудови їхньої гістограми та кумуляти.

Теоретичні відомості

Процедура побудови гістограми є пов’язана з визначенням розмаху варіант та правильним визначенням кількості інтервалів групування варіант в межах даного розмаху: R xmax xmin , де xmax і xmin – відповідно найбільше і найменше значення варіанти в даному часовому ряду. Крім того вона передбачає висування гіпотез, щодо виду закону розподілу, вибору методів оцінювання параметрів та перевірки адекватності аналітичних виразів цих законів даній вибірці отриманих даних.

1. Визначення параметрів розподілу рівнів часового ряду

Отримані в такий спосіб варіаційні ряди відображають індивідуальні значення часу опрацювання зображень операторами найбільше відповідають функціям розподілів Вейбула та Релея. На рис. 1 наведені графіки: закону розподілу Вейбула (кумуляти) F x , функції щільності закону розподілу

58

Вейбула – графік f x , та оберненої функції закону розподілу Вейбула,

зображеної кривою F 1 x G x . Як видно з форми графіків даний закон розподілу є асиметричний і одномодальний. Аналогічний вигляд мають графіки розподілу Релея. Відмінність полягає в тому, що розподіл Релея є однопараметричним.

Рис. 5.1. Графіки функцій теоретичного закону розподілу Вейбула, його щільності та йому оберненої функції.

де a і b – відповідно параметри форми масштабу, а оберненою до (3) є функція

областях. Він є теоретичним розподілом в таких галузях як теорія надійності в

59

техніці, демографія в соціології, в крихкому руйнування в теорії опору матеріалів тощо. Значна його популярність сприяла тому, що його параметри визначають за допомогою різних підходів та методів. Проте, в переважаючій більшості методів попередньо будують гістограму на підставі вибіркових значень, яку апроксимують функцією щільності цього розподілу.

При аналізі часу життя різноманітних об’єктів, явищ, процесів живої та неживої природи, динаміка яких представлена одномірними часовими рядами, статистичні властивості рівнів цих рядів переважно найкраще описуються розподілом Вейбула. В основному розподіл Вейбула використовують в задачах аналізу довговічності, тобто в таких, які характеризують час життя елемента до заданого моменту часу, та надійності при аналітичній формі опису закономірностей фактів настання відмов цих елементів.

Розподіл Вейбула – це двох або трьох параметрична функція, обмежена в області малих значень з асиметричною функцією щільності.

Неперервна випадкова величина X t має розподіл Вейбула з параметрами a, b і 0 , якщо її функція розподілу має вигляд:

60