ms_labs

Область покриття є прямокутною і подає габаритні вузлів даного квазіциклу. Розмір області покриття або її площа свідчать про різницю між значеннями рівнів – вузлів, що входять в даний квазіцикл та різницю між швидкостями зміни їхніх значень. Чим ці різниці більші, тим більшою є площа області покриття. На це вказує і величина півпериметра, яку визначають як

P X max X min Ymax Ymin .

Координати центру області покриття C Xц ; Yц , визначенні як точка

перетину її діагоналей вказують на зміщення центру даного квазіциклу від аналогічного за визначенням центру фазового портрета, тобто для фазового портрету також вказується область покриття і визначається її центр.

Рис. 4. Діаграми розподілу квазіциклів за кількістю вузлів.

Області покриття та центри квазіциклів зображені на рис. 5. Для ідентифікації використовується також орієнтація області покриття, визначена як тангенс кута нахилу головної діагоналі прямокутника з доданім напрямом осі абсцис.

121

Рис. 5. Області покриття та визначення центрів квазіциклів.

видовження свідчить про величину розмаху значень оригінального ряду, вертикальне – про розмах значення швидкості зміни оригінальних значень.

Експериментальні дані про квазіцикли подаються у вигляді табл. 1. Для фрагмента ряду зображеного на рис. 3 значення характеристик квазіциклу наведені в таблиці 1.

Важливою характеристикою часового ряду є динаміка центрів квазіциклів. На рис. 2 спостерігається девіація квазіциклів на що вказують і координати центрів області покриття. Зміщення центрів цих областей свідчить про те, що операторська діяльність має складний динамічний характер. Процеси в системі оператор-монітор з однієї сторони визначаються характером наданої на моніторі послідовності зображень, а з другої – когнітивними процесами поєднаними роботою зорового аналізатора. Девіація центрів зображена на рис. 6.

Форма звіту

1.Звіт оформляється на одному аркуші формату А4 з обох сторін.

2.На першій сторінці вказують: кафедра, назва роботи, групу. Прізвище та ім’я студента.

123

3.Мета роботи.

4.Далі – вихідні дані – часовий ряд заданий викладачем у вигляді вордтаблиці.

5.Подаються лише основні результати та відповідні скриншоти графіку вихідного часового ряду, фрагмент, аналогічний до рис. 3 для даного часового ряду, заповнена таблиця 1, а також об’єднаний графік оригінального часового ряду та графіку центрів квазіциклів.

6.Висновок про те, що отримано в роботі і в чому перевага Ексель, а саме

–що дає графік центрів квазіциклів.

7.Посада, прізвище та ініціали викладача, який прийняв звіт.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 12

АПРОКСИМАЦІЯ ТРЕНДІВ ЧАСОВИХ РЯДІВ

Мета роботи: ознайомлення з можливостями пакета MS Excel для розв’язання задач апроксимації експериментальних даних безпосередньо або виділених методами згладжування поданих у вигляді трендів – тенденцій поведінки досліджуваного показника, визначення якості апроксимації та побудови з допомогою пакета аналізу MS Excel розподілу рівнів відносно тренду.

Під час розв’язання різних задач, пов'язаних з аналізом та обробко експериментальних (емпіричних) даних, зокрема часових рядів з трендовою складовою, виникає проблема її аналітичного опису.

1. Поняття апроксимації

На практиці часто доводиться стикатися із задачею згладжування експериментальних залежностей або задачею апроксимації.

Апроксимацією називається процес підбору емпіричної формули x для встановленої з досвіду функціональної залежності y f x . Емпіричні формули служать для аналітичного подання дослідних даних.

При апроксимації рівнів часового ряду шукану криву y f x треба провести між

точками, заданих парами координат х та у, за деякою визначеною стратегією, не досягаючи того, щоб на опорних точках значення функції збігалися з виміряними значеннями уn

(рис. 2.1).

124

випадках, особливо якщо функція f x задана графіком або таблицею (на дискретній

завдання. Деякі з них дуже прості, швидко призводять до результату, але результат цей є сильно наближеним. Інші більш точні, але й більш складні.

i 0

має найменше значення в порівнянні з іншими функціями, з числа яких вибирається шукане наближення, тобто апроксимуюча функція.

За допомогою функції y f x , яку задано у явній формі, тобто конкретною формулою, можна:

1)описувати кількісно існуючу, в принципі, функціональну залежність чи ефект, отриманий в результаті вимірювання;

2)заносити характеристику даної залежності в пам'ять ЕОМ;

3) обчислювати й видавати значення абсциси, яке належить відповідному значенню ординати або навпаки, за вказаною абсцисою обчислити значення ординати;

n 1

б) сума квадратів різниць повинна наближатися до мінімуму, тобто мінімізується евклідова норма. Цей метод називається методом найменших квадратів Гаусса, рідше – квадратичною L 2 - апроксимацією:

n 1

в) максимальна різниця між ординатами апроксимуючої кривої та емпіричними значеннями ординатами точок для одних і тих самих відповідних значень абсцис повинна залишитися в зазначених межах D, тобто має місце L - апроксимації:

126

має конкретні значення) з наступним вибором відповідної апроксимуючої функції (линии тренда).

В цьому плані Excel надає такі варіанти функцій:

Лінійна – y = ax + b. Її застосовують в найпростіших випадках, коли експериментальні дані зрастають або спадають з постійною швидкістю.

Поліноміальна – y = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, де до шостого порядка включно (n≤6), ai – є константы. Вона використовується для опису експериментальних даних, які по черзі зрастають і спадають. Степінь полінома визначається кількістю екстремумів (максимумів або мінімумів) кривої. Поліном другого степеня можна описати тільки одним максимумом або мінімумом, поліном третього степеня може мати один або два екстремуми, четвертого степеня – не более трех екстремумів і т.д.

Логарифмічна – y = a·lnx + b, де a і b – константи, ln – функція натурального логарифму. Функція застосовується для опису експериментальних даних, які спочатку швидко зростають або спадають, а потім поступово стабілізуються.

Степенева – y = b·xa, де a і b – константи. Апроксимація степеневою функцією використовується для експериментальных даних з постійно зростаючою (або спадаючою) швидкістю росту. Дані не повинні мати нульових або від’ємних значень.

Ступінь близькості апроксимації експериментальних даних вибраною функцією оцінюється коефіцієнтом детермінації (R2).Таким чином, якщо є декілька варіантів типів апроксимуючих функцій, можна вибрати функцію з великим коефіцієнтом детермінації (прямуючим до 1).

Для здійснення апроксимації на діаграмі експериментальних даних необхідно кліком на праву кнопку миші визвати випливаюче контекстне меню и вибрати пункт «Добавить линию тренда» і в цьому діалоговому вікні «Линия тренда», на вкладці «Тип» вибрати вид апроксимуючої функції, а на вкладці «Параметры» задати додаткові параметри, які впливають на відображення апроксимуючої кривої.

При подальшому дослідженні часового ряду виникає задача знаходження адекватних аналітичних описів складових однієї або кількох різних варіантів моделей часового ряду. Підбирають аналітичний опис для моделей емпірично.

На практиці, аналітичний опис форми тренду шукають у формі поліномів різних степенів та елементарних функцій або їхніх сум, підбираючи їх коефіцієнти на підставі критерію середньоквадратичного відхилення.

Отримана в результаті відбору аналітичних виразів математична модель досить ефективно характеризує динаміку зміни показника в заданому часовому інтервалі, тобто поведінку його зміни з часом і може використовуватись для прогнозування змін з допомогою екстраполяції.

Для досягнення поставленої мети використовується процедура апроксимації лінії тренду аналітичними функціями, що є в арсеналі пакета MS Excel та зовнішніми функціями, які найбільш повно відповідають фізичній суті часового ряду.

3. Апроксимація трендів іншими засобами Excel.

128

Для аналітичного дослідження властивостей систем, що містять нелінійні елементи, необхідно експериментальні криві, що характеризують нелінійну залежність між вхідним впливом і реакцією, представити у вигляді безперервних аналітичних функцій в заданому інтервалі значень аргументу.

Як правило, точно уявити експериментальну криву у вигляді деякої аналітичної залежності неможливо, та в цьому практично немає необхідності, тому що сама експериментальна крива, що підлягає апроксимуванню, містить неточності, викликані похибкою вимірювальної апаратури, і, крім того, різні екземпляри нелінійних елементів одного і того ж типу мають помітний розкид за характеристиками. Тому необхідно здійснювати апроксимацію експериментальних кривих за допомогою неперервних аналітичних функцій, які давали б наближення до експериментальної кривої з похибкою, що не перевищує задану.

Одна з задач дослідження систем полягає в побудові наближених залежностей між різними показниками, якими описується конкретна система, з метою прогнозування її стану, імітації різних варіантів розвитку системи, підтримки прийняття управлінських рішень тощо. Залежність між показниками, які характеризують стан системи можна подати у такому вигляді

де y, x1 , x2 , , xn – показники, що описують систему, F – реальна залежність між

показниками.

Часто, існуючий функціональний зв’язок є досить складним для розуміння або опису в простих термінах. В цьому випадку намагаються підібрати апроксимаційну функцію у вигляді, наприклад, поліному, яка б включала потрібні змінні і відповідала «істинній» функції в певній обмеженій області зміни цих змінних.

Переважно для побудови моделей систем, які наближено описують реальні залежності використовується алгебраїчний многочлен деякого степеня від багатьох змінних. При цьому залежність між показниками повинна залишатися незмінною або змінюватися незначно протягом усього часового інтервалу, на якому визначаються коефіцієнти моделі.

Вбагатьох випадках побудова моделей систем здійснюється за умов обмежених можливостей відповідного поповнення статистичних (експериментальних) даних на основі яких має бути ідентифікованою математична модель.

Отже, мають бути знайдені такі методи обробки числових даних, які б дозволили уникнути спрощеності в побудові моделей, яка випливає з традиційно використовуваних методів.

Вдійсності, в якості моделі реального об’єкта використовується деякий математичний об’єкт певної структури, яка тою чи іншою мірою відповідає або не відповідає структурі реального об’єкта. Тому використання алгебраїчних многочленів в якості моделей системи лише на тій основі, що вони мають набір змінних, який можна зіставити з набором показників реального об’єкта є вельми довільним, невмотивованим.

Показники, які описують стан об’єктів, є взаємопов’язані між собою різними залежностями. Ці взаємозалежності є задані неявно експериментально отриманими поєднаннями числових значень показників, що описують систему. Використання ж показників як незалежних одна від одної змінних не враховує спільність (сумісність) існування числових значень показників, а це приводить до втрати суттєвої частини інформації, яка міститься у вихідних даних.

Тому для більш повного використання наявної інформації в якості наближеної моделі системи необхідно використовувати такі аналітичні вирази, які враховують спільну зміну показників системи.

129

Докладний аналіз систем з нелінійними характеристиками показує, що в більшості випадків нелінійні ділянки тренду мають свою інтерпретацію, причому основною складністю тут є строге визначення меж таких ділянок. Тому в задачах апроксимації нелінійних трендів часто вибирають складні апроксимуючі функції, за допомогою яких можна інтерпретувати і кількісно оцінити дані (локальні) нелінійності. Особливістю таких функцій є те, що вони утворені шляхом додавання більш простих чи елементарних функцій.

В загальному плані для опису наближеної залежності використовуються такого виду аналітичні вирази

Побудова наближеної залежності у вигляді (6) має суттєві переваги в порівнянні з побудовою наближеної залежності у вигляді алгебраїчного многочлена, а саме:

-коефіцієнти моделі відносяться не до окремих показників, а до усього вектора показників. Тому їх кількість зменшується порівняно з кількістю коефіцієнтів алгебраїчного многочлена багатьох змінних;

-внаслідок зменшення кількості коефіцієнтів моделі значно зменшується кількість вихідної інформації, необхідної для визначення коефіцієнтів моделі;

-більш повно використовується інформація , яка міститься у вихідних даних, оскільки всі показники використовуються сумісно;

-відсутня штучна вимога про незалежність змінних моделі.

Досить добре зарекомендували себе апроксимуючі функції утворені сумою елементарних функцій та сумою експоненціальних функцій.

Апроксимація сумою елементарних функцій. Цей метод застосовують, коли фрагменти тренду мають тільки геометричну інтерпретацію або геометричну інтерпретацію з фізичним змістом. Наприклад, в теорії надійності широко використовують U-подібну залежність виходу з ладу виробів, яка має таку аналітичну форму:

Інтерпретація виразу (7) полягає в тому, що на початку виробничого циклу, в процесі налаштування з ладу може виходити дуже багато виробів проте ця кількість з часом нелінійно зменшується – на початку її можна описати квадратичною гіперболою, яка плавно переходить у звичайну гіперболу, далі вихід виробів з ладу практично залишається в допустимих межах, тобто є постійною величиною, яку описують константою, далі, вже будучи в експлуатації кількість вийшовши з ладу виробів лінійно зростає, при перевищенні ними гарантійного терміну різко зростає ніби за параболою. Другим таким прикладом є послідовність значень часу розпізнавання людиною-оператором послідовності однорідних зображень з об’єктами уваги. В цій ситуації перші дві функції описують процес адаптації людини в момент початку діяльності, константа характеризує його нормальну роботу, а лінійна функція та парабола відповідають наростанню втоми.

Апроксимація експоненціальним поліномом. Суть апроксимації експоненціальним поліномом може бути зведена до обчислення його коефіцієнтів за методом найменших

130