ms_labs

квадратів викладені. Нехай задані відповідні значення функції 1 t , 2 t , , n t і

незалежної змінної t . Необхідно апроксимувати дану, експериментально встановлену залежність, поліномом виду

Знаходження параметрів апроксимуючих функцій. Знайти параметри обох функцій

(7) і (8) можна використовуючи метод найменших квадратів або в середовищі Ms Excel застосувавши надбудову «Пошук рішення». В останньому випадку, необхідно всім невідомим присвоїти імена та надати початкові значення. Використовуючи стовпчик незалежних змінних побудувати (бажано) поряд з стовпчиком оригінальних даних стовпчик значень апроксимуючої функції. Далі для оригінальних значень і обчислених для функції треба знайти суму квадратів відхилень, яку мінімізувати за допомогою надбудови «Пошук рішення».

4. Коефіцієнт детермінації

Статистичний показник, що використовується в статистичних моделях як міра залежності варіації залежної змінної від варіації незалежних змінних і визначений за такою формулою

де yi – значення спостережуваної змінної, y – середнє значення для цієї змінної, ˆyi –

значення моделі,обчислені за оціненими параметрами.

Коефіцієнт детермінації використовують переважно в якості основного показника, який вказує наскільки отримані спостереження підтверджують модель. Він показує як кількісно доля варіації пояснюваної змінної y врахована в моделі і зумовлена впливом на

неї чинників, включених в модель.

Чим ближче R 2 до 1, тем вищою є якість моделі. Якщо коефіцієнт детермінації дорівнює одиниці лінія регресії точно відповідає всім спостереженням. Модель можна визнати достатньо якісною якщо коефіцієнт детермінації перевищує 0,8.

Загальні завдання

Вданій роботі передбачено виконання таких завдань:

1.Апроксимувати рівні часового ряду звичайними поліномами 4-го, 5-го і 6-го порядків.

131

2.Апроксимувати згладжені рівні часового ряду ковзним середнім з розміром вікна 7, 9, 11 за формулами Кендела або Поларда поліномом 6-го степеня.

3.Апроксимувати рівні часового ряду функцією виду

i 1

з невідомими коефіцієнтами ai , Ei та i .

Для апроксимації алгебраїчними поліномами використати опцію «Додати лінію тренду», яка з’являється на вкладці, коли навести курсор на графік і клацнути правою кнопкою мишки.

Увипадку функцій поданих в п.3 і п.4 необхідно:

задати початкові значення параметрів ai , Ei , i та присвоїти їм відповідні імена;

побудувати за цими параметрами модель вихідного ряду;

знайти суму квадратів відхилень між оригінальним рядом та його моделлю;

з допомогою надбудови «Пошук рішення» знайти значення параметрів моделі, за яких вона найкраще описує рівні даного часового ряду;

знайти коефіцієнт детермінації R 2 між оригінальним рядом і «підігнаною» моделлю, який вказує на якість, як самої апроксимації, так і на вибір апроксимуючої функції.

Хід роботи

Відкрити нову книгу Ексель і на перший аркуш ввести вихідні дані – вказаний часовий ряд. Наступними кроками є такі.

1.Побудувати графік вихідного ряду для завдань п.1 і п.2.

2.Навівши курсор на лінію графіку клацнути правою кнопкою мишки – має з’явитися вкладка «Формат рядів даних» і на ній треба клацнути «Додати лінію тренда».

3.Для кожного з графіків вибрати тип відповідної функції для апроксимації даних: лінійну, логарифмічну, експоненціальну, степеневу та поліноміальну 4-го, 5-го і 6-го степеня.

4.Для кожного типу функції відкрити випадаючу вкладку «Параметри» і поставити мітки навпроти операцій «Показати рівняння на діаграмі» і «Помістити на діаграму

величину достовірності апроксимації R 2 ».

5. Отримані результати подати таблицею 1 і окремо привести діаграму для коефіцієнтів детермінації R 2 .

6.Побудувати графік вихідного ряду для завдань п.3 і п.4.

7.Задати початкові значення та присвоїти імена параметрам вказаних функцій.

8.Побудувати модель апроксимуючої функції за вказаними параметрами.

9.Знайти суму квадратів відхилень, та мінімізувати її за допомогою надбудови «Пошук рішення».

132

Таблиця 1.

Апроксимація тренду часового ряду

Рис.1. Діаграма якості апроксимації

Форма звіту

1.Титулка з назвою роботи.

2.Мета роботи.

3.Для завдань п.1 та п.2 графічно подати вихідні дані.

4.В таблиці привести використані апроксимуючі функції та їх коефіцієнти детермінації.

133

4.Графічно подати діаграму якості апроксимації.

5.Для задач п.3 та п.4 дати в таблиці початкові значення параметрів, суму квадратів відхилень до початку застосування надбудови «Пошук рішення» і після її застосування.

6.Показати на графіку лінію тренду отриманого тренду.

7.Висновок.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 13

МНОЖИННИЙ РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ

Мета роботи: Ознайомитись з методикою та набути початкових навичок використання методів множинної регресії та організації її розрахунків в табличному процесорі Ms Excel.

1. Загальні положення.

Як вже зазначалося, для апроксимації одномірних даних, в яких спостерігається певного виду тенденція в поведінці показників використовуються різні аналітичні вирази: поліноми різного степеня, логарифмічна, степенева, експоненційна функції та інші, вибрані дослідником за певних міркувань чи ситуацій. Для кількісного опису взаємозв’язків між залежною та незалежною чи незалежними змінними в математичній статистиці широко використовуються різні методи: метод найменших квадратів, лінійний, нелінійний, множинний регресійний аналіз, які загалом базуються на властивостях та особливостях матричної алгебри.

Залежно від кількості факторів, включених у рівняння регресії, прийнято розрізняти просту (парну) і множинну регресії.

Проста (парна) регресія є регресію між двома змінними - y і x , тобто модель виду:

(ознака-фактор).

Множинна регресія відповідно представляє собою регресію результативної ознаки з двома і більшим числом факторів, тобто модель виду:

(2)

Будь-яке дослідження починається зі складання специфікації моделі, тобто з формулювання виду моделі, виходячи з відповідної теорії зв'язку між змінними. Іншими словами, дослідження починається з теорії, яка встановлює зв'язок між досліджуваним об’єктом та чинниками, що впливають на нього, тобто формують таблицю «об’єкт – впливаючий чинник». Перш за все з усього кола факторів, що впливають на результативну ознаку, необхідно виділити найбільш суттєві.

Парна регресія є достатньою, якщо мається домінуючий чинник, який і буде використаний в якості пояснюючої змінної. Припустимо, що висувається гіпотеза про те, що величина y перебуває у зворотній залежності від величини x , тобто y x a b x . В цьому

випадку необхідно знати, які ще інші чинники вважати незмінними, можливо, надалі їх доведеться врахувати в моделі і, тоді, від простої регресії перейти до множинної.

Рівняння простої регресії характеризує зв'язок між двома змінними, який проявляється як деяка закономірність лише в середньому в цілому за сукупністю спостережень. Так, якщо залежність y от x характеризується, наприклад, рівнянням

134

y 100 2x , то це означає, що із зростанням x на 1 то y в середньому зменшується, на 2

одиниці. В рівнянні регресії кореляційний за своєю суттю зв'язок, представляється у вигляді функціонального зв'язку, вираженому відповідною математичною функцією. Практично в кожному окремому випадку величина y складається з двох доданків:

врахованих в моделі чинників, випадкових помилок і особливостей виміру. Її присутність в моделі породжене трьома джерелами: специфікацією моделі, вибірковим характером вихідних даних, особливостями виміру змінних.

Наведене раніше рівняння залежності y от x можна точніше записати як

До помилок специфікації будуть відноситися не тільки неправильний вибір тієї чи іншої математичної функції для yx , а й недоврахування в рівнянні регресії якого-небудь

суттєвого фактора, тобто використання парної регресії замість множинної.

Поряд з помилками специфікації можуть мати місце помилки вибірки, оскільки дослідник найчастіше має справу з вибірковими даними при встановленні закономірного зв'язку між ознаками. Помилки вибірки мають місце і через неоднорідність даних вихідної статистичної сукупності, що, як правило, буває за недостатньо повного і глибокого вивчення досліджуваних процесів. Якщо сукупність неоднорідна, то рівняння регресії не має практичного сенсу. Для отримання хорошого результату звичайно виключають із сукупності одиниці з аномальними значеннями досліджуваних ознак. І в цьому випадку результати регресії представляють собою вибіркові характеристики.

На відміну від простої регресії, яка включає лише одну незалежну змінну, множинна регресія подається таким рівнянням:

Побудова рівняння множинної регресії починається з формування специфікації моделі, а цей процес включає два кола питань: відбір чинників і вибір рівняння регресії. Відбір чинників переважно здійснюється двома етапами:

–теоретичний аналіз взаємозв’язку результату і кола чинників, що здійснюють на нього суттєвий вплив;

–кількісна оцінка взаємозв’язку чинників з результатом. За лінійної форми зв’язку

135

між ознаками даний етап зводиться до аналізу кореляційної матриці (матриці R парних лінійних коефіцієнтів кореляції:

де ry , x j – лінійний парний коефіцієнт кореляції, який вимірює тісноту зв’язку між ознаками y та xj , j 1, m , m – число чинників; rx j , xk – лінійний парний коефіцієнт кореляції, який вимірює тісноту зв’язку між ознаками xj і xk , k, j 1,m .

Чинники, які включаються в множинну регресію повинні відповідати таким вимогам.

1.Вони повинні бути кількісно вимірними. Якщо необхідно включити в модель якісний чинник, який не має кількісного виміру, то йому можна надати певну кількісну (навіть суб’єктивну) визначеність, наприклад в балах.

2.Кожен фактор повинен бути достатньо сильно пов’язаний з результатом, тобто коефіцієнт парної лінійної кореляції між ним і результатом має бути істотним.

3.Чинники не повинні бути сильно корельованими між собою, а тим більше не бути функціонально зв’язаними.

При виборі форми рівняння множинної регресії перевагу віддають лінійній функції

(7) з огляду на те, що визначені значення параметрів можуть бути чітко і змістовно інтерпретовані. Дане рівняння регресії називають рівнянням регресії в природному (натуральному) масштабі. Коефіцієнт регресії bj біля чинника xj називають умовно-чистим

коефіцієнтом регресії. Він вимірює середнє для сукупності відхилення ознаки-результату від його середньої величини при відхиленні ознаки-чинника xj на одиницю, за умови, що

всі інші чинники моделі не змінюються (зафіксовані на своїх середніх рівнях). Якщо не робити цього припущення про значення інших чинників, що включені в модель. То це означало б, що кожен з них при зміні xj також змінювався б,оскільки усі вони зв’язані між

собою, і тоді своїми змінами вони б впливали на ознаку результат.

Побудова рівняння множинної регресії матричним методом

Формулювання завдання. Побудувати рівняння множинної регресії для експериментальних даних поданих таблицею «результат – впливаючий чинник» та обґрунтувати його правомірність. Таблиця «результат – впливаючий чинник» має вигляд,

136

Рівняння множинної регресії в цьому випадку матиме такий вигляд:

Y b0 b1X1 b2 X 2 b3 X3 b4 X 4 b5 X5 . (8)

Побудова рівняння множинної регресії означає визначення (обчислення) значень коефіцієнтів b0 , b1 , , b5 . Оскільки є можливим певний зв’язок між результатом та

чинниками, а також між окремими чинниками деякі доданки з коефіцієнтами, що мають відносно або суттєво менші значення, порівняно з іншими коефіцієнтами можуть бути вилучені, очевидно в межах допустимої похибки. В цьому випадку, відповідь на тісноту зв’язку між результатом і чинниками та між самими чинниками дає кореляційна матриця табл. 1.

Процедура побудови рівняння множинної регресії переважно подається такими кроками.

Крок 1. Побудова кореляційної матриці. Для цього необхідно:

відкрити нову книгу в табличному процесорі Excel;

сформувати (перенести) на лист досліджувані дані у формі табл. 1;

ініціювати програму КОРЕЛЯЦІЯ в такий спосіб: «Сервіс → Аналіз даних → Кореляція»;

ввести дані, за винятком стовпчика « № з/п »,

вхідний інтервал В1:F11, де розміщені дані з заголовками стовпчиків – їх назв;

активізувати віконце «Мітки в першій стрічці»;

перемикач групування в положення «по стовпчиках»;

параметр виводу «Вихідний інтервал», наприклад A14;

клік « ОК ».

Врезультаті отримаємо кореляційну матрицю, зображену на рис. 1 разом з вихідними даними.

137

2.2. Вектор-стовпчик b оцінок параметрів моделі визначають за такою формулою:

Крок 3. Перевірка вимоги нерівності нулю визначника. Отже, перш ніж продовжити визначення коефіцієнтів рівняння множинної регресії, тобто обчислення

стовпці – рядками) відносно матриці X можна скористатися двома способами.

1. Використовуємо функцію табличного процесора ТРАНСП діставшись до неї таким шляхом: «Майстер функцій → Посилання і масиви → ТРАНСП → ОК». Оскільки для транспонованої матриці кількість стовпчиків рівна кількості стрічок не транспонованої матриці на листі треба забезпечити для неї відповідно вільне місце. Активізуючи комірку в лівому верхньому куті вводять в неї, описаним способом функцію ТРАНСП. У відкрите вікно цієї функції копіюємо матрицю, яку треба транспонувати і натискаємо ОК. В комірці

2. Другий спосіб полягає в такому. Виділяємо і копіюємо потрібну матрицю. У вибране місце (яке забезпечує її розміри) робимо вставлення її через операції «Спеціальна

вставка → транспонувати → ОК».

2.4. Знаходимо матрицю добутку матриць XT X , використовуючи функцію

МУМНОЖ, для чого використовуємо «Майстер функцій → Математичні → МУМНОЖ → ОК».

Треба мати на увазі, що можна перемножити лише ті матриці, для яких кількість стрічок матриці-множене рівна кількості стовпчиків матриці-співмножник, тобто якщо

матриця-множене має розмір n m , а матриця-співмножник – m k , то матриця-

добуток матиме розмір n k , і саме такого розміру треба підготувати для неї місце.

Для знаходження цього добутку викликаємо функцію МУМНОЖ і у її вікно вводимо

відповідні дані: масив1 це матриця XT , а масив2 це матриця X . В результаті мають бути відображені початкові значення матриць після трьох знаків рівностей, а також внизу вікна має бути показане значення. Натискаємо « ОК », після чого в комірці, в яку була введена

139

формула множення з’являється число.

Починаючи з цієї комірки виділяємо мишкою місце під матрицю-добуток і натискаємо на клавіатурі клавішу « F2 », замість значення в комірці буде формула МУМНОЖ(A34:J39;A23:F32), далі, натискаємо групу клавіш CTRL+SHIFT+ENTER. В результаті, у виділеній області під матрицю-добуток з’являться її значення, а в стрічці формул (там де знак fx , формула МУМНОЖ(A34:J39;A23:F32) буде взята у фігурні дужки

– знак роботи з масивами).

В матриці XT X число 10, яке лежить на перетині 1-ої стрічки і 1-го стовпчика, є

отримане як сума добутків елементів 1-го рядка матриці XT і першого стовпчика матриці

X .

2.5. Перевірка вимоги (11) здійснюється за допомогою функції МОПРЕД. Для цього поступають таким чином: «Майстер функцій → Математичні → МОПРЕД → ОК». Вводимо значення матриці і натискаємо « ОК », в результаті отримуємо значення 0,000314, яке хоча і близьке до нуля, проте нерівне нулю.

Крок 3. Визначаємо решту матриць. До них відносять матрицю XT Y та обернену матрицю XT X 1 .

3.1. Для знаходження матриці XT Y виконаємо множення за допомогою функції МУМНОЖ. В результаті отримаємо таку матрицю:

159,20

32,58 ХТ Y = 60,55 225,22 119,42 237,40

3.2.Обернену матрицю XT X 1 отримують за допомогою функції МОБР. Для

цього поступають таким чином: «Майстер функцій → Математичні → МОБР → ОК». Вводимо значення матриці і натискаємо « ОК », в результаті отримуємо в зазначеній комірці, тобто в тій, в яку вводили формулу значення для даного прикладу 131,61. Далі, оскільки обернена матриця є того самого розміру що й не обернена, виділємо такий самий діапазон починаючи з комірки з розміщеною формулою. Натискаємо на клавіатурі клавішу « F2 », в результаті замість значення в комірці буде формула МОБР(E42:J47), далі, натискаємо групу клавіш CTRL+SHIFT+ENTER.

В результаті, у виділеній під обернену матрицю області з’являться її значення, а в стрічці формул (там де знак fx , формула МОБР(E42:J47) буде взята у фігурні дужки, що

140