ms_labs

найбільше і найменше значення варіанти в даному часовому ряду. Крім того вона передбачає висування гіпотез, щодо виду закону розподілу, вибору методів оцінювання параметрів та перевірки адекватності аналітичних виразів цих законів даній вибірці отриманих даних.

1. Визначення параметрів розподілу рівнів часового ряду

Отримані в такий спосіб варіаційні ряди відображають індивідуальні значення часу опрацювання зображень операторами найбільше відповідають функціям розподілів Вейбула та Релея. На рис. 1 наведені графіки: закону розподілу Вейбула (кумуляти) F x , функції щільності закону розподілу Вейбула – графік f x , та оберненої функції закону розподілу Вейбула,

зображеної кривою F 1 x G x . Як видно з форми графіків даний закон розподілу є асиметричний і одномодальний. Аналогічний вигляд мають графіки розподілу Релея. Відмінність полягає в тому, що розподіл Релея є однопараметричним.

Рис. 5.1. Графіки функцій теоретичного закону розподілу Вейбула, його щільності та йому оберненої функції.

Закон розподілу Вейбула описується такою функцією

де a і b – відповідно параметри форми масштабу, а оберненою до (3) є функція

G n b ln 1 n 1a ,

31

областях. Він є теоретичним розподілом в таких галузях як теорія надійності в техніці, демографія в соціології, в крихкому руйнування в теорії опору матеріалів тощо. Значна його популярність сприяла тому, що його параметри визначають за допомогою різних підходів та методів. Проте, в переважаючій більшості методів попередньо будують гістограму на підставі вибіркових значень, яку апроксимують функцією щільності цього розподілу.

При аналізі часу життя різноманітних об’єктів, явищ, процесів живої та неживої природи, динаміка яких представлена одномірними часовими рядами, статистичні властивості рівнів цих рядів переважно найкраще описуються розподілом Вейбула. В основному розподіл Вейбула використовують в задачах аналізу довговічності, тобто в таких, які характеризують час життя елемента до заданого моменту часу, та надійності при аналітичній формі опису закономірностей фактів настання відмов цих елементів.

Розподіл Вейбула – це двох або трьох параметрична функція, обмежена в

а її щільність є визначена в наступний спосіб:

32

До числових характеристик розподілу Вейбула відносять: Математичне сподівання

Медіану

t0 b ln 2 1/ a .

Моду

Наявність ґама-функції у виразах математичного сподівання та дисперсії практично не дає можливості безпосередньо їх визначити на підставі вибіркових значень методом найменших квадратів.

Для визначення параметрів a і b розподілу Вейбула використовують різноманітні класичні та емпіричні підходи та чисельні методи.

3. Розподіл Релея

Однопараметричний розподіл Релея є одномодальним розподілом, з правосторонньою асиметрією і додатною областю значень. Він широко використовується в теорії надійності і є добре вивченим. Його залежність від одного параметра є зручною для проведення ідентифікації індивідуальних розподілів, оскільки легко створити порядкову шкалу.

33

Однопараметрична функція розподілу Релея та його щільність мають такий вигляд

Мода

34

Mo

Медіана

Me 2 ln 2 0.5 1.177

В теорії надійності його використовують для опису поведінки зношення вузлів, деталей. З ергономічної точки зору, в сенсі надійності оператора, його можна використати для опису значень часу розпізнавання послідовності зображень людиною-оператором протягом тривалого часу T , коли суттєво проявляється стан втоми та пов’язаного з ним зростання нервової напруженості. Тоді ймовірність розпізнавання всіх зображень послідовності визначається як

а середній час до першого нерозпізнаного зображення

Очевидно що такі оцінки можуть бути визначені на підставі моделі операторської діяльності, побудованої за результатами експериментальних досліджень.

Дані розподіли хоча близькі за зовнішнім виглядом є виведені для різних випадкових величин, тобто мають тісний зв’язок з явищами які вони описують.

В даній лабораторній роботі вони використовуються для моделювання інших за змістом даних, проте можна розглядати час розпізнавання зображення об’єкта заданого класу як час його життя з моменту появи його на екрані до моменту розпізнавання оператором. В такому поданні, час розпізнавання вже можна трактувати з точки зору надійності і застосовувати приведені закони розподілу

Хід роботи.

35

Побудова гістограми і кумуляти

1.Відкрити нову книгу Ексель і внести вказані дані на перший аркуш.

2.Визначити розмах даних R xmax xmin та знайти кількість інтервалів

групування за однією з таких формул

k 3.322 lg n 1;

k 1.15 0.42 n 1 2 0.27 ; k 5 lg n ;

k n ;

k 1.9 n0.4

3. Через один стовпчик справа від стовпчика даних будуємо значення стовпчика інтервалів (кишень). Для цього в першу комірку цього стовпчика вносимо нуль, в другу (під першою) записуємо значення величини інтервалу

заповнюємо значеннями нижче розташовані комірки, поки значення останньої перевищить величину xmax .

4. Активізуємо надбудову Ексель Аналіз даних і відкриваємо опцію «Гістограма». Далі, заповнюємо вікно «Вхідний інтервал», заповнюємо вікно «Інтервал кишень», вказуємо місце виведення значень гістограми «Вихідний інтервал», ставимо галочки навпроти опцій «Інтегральний процент» та «Вивід графіка». Натискаємо «ОК» і отримуємо результат, зображений таблицею на рис.1а. Перший стовпчик таблиці є стовпчиком границь інтервалів, другий – це кількості рівнів, значення яких відносяться до даного інтервалу. Третій стовпчик переводимо в числовий формат, в результаті чого його значення будуть числами від 0 до 1. Останню стрічку можна відкинути.

Знаходження параметрів розподілів.

Для знаходження параметрів a – форми та b – масштабу використовуємо дані полігону частот і кумуляти.

36

Рис. 1. Результати опції «Гістограма»: а – таблиця даних полігону частот і кумуляти, б – гістограма даних, в – полігон частот, г – кумулята.

І. Знаходження параметрів розподілу за полігоном частот.

1.Скопіюємо стовпчик полігону частот на новий аркуш.

2.В сусідню з першою коміркою справа введемо формулу (3), попередньо визначивши такі дані, для цієї формули:

37

3. Присвоїмо цим значенням відповідні імена. Для цього, побудуємо стовпчик параметрів t0 , a , b . Навпроти кожного з цих параметрів введемо їх числові значення. Далі, активізуємо комірку зі значенням параметра t0 . На панелі інструментів клацаємо мишкою на «Вставка» «Ім’я» «Присвоїти». В результаті значенню параметра t0 буде присвоєно його ім’я t0 . Аналогічно поступаємо з параметрами a і b .

В Ексель дана формула має такий вигляд:

a / b t t0 / b ^ a 1 exp t t0 / b ^ a .

Значеннями для t виступають значення стовпчика полігону частот. Здійснюємо автозаповнення і отримуємо стовпчик значень, обчислених за даною формулою і конкретними значеннями вказаних параметрів.

4.Подаємо графіки значень обох стовпчиків в одній координатній площині. Як правило, обидва графіки і положенням і формою різняться між собою, тобто модель (графік функції) не відповідає своєму оригіналу (графіку полігону).

5.Для наближення моделі до оригіналу необхідно мінімізувати суму квадратів відхилень Skv , яку визначають за допомогою формули

n

=СУММКВРАЗН = xоригінал x модель 2 , i 1

визначивши для неї місце в комірці під стовпчиком числових значень імен.

6. Використовуючи надбудову «Пошук рішення», вид якої зображено на рис. 2 встановлюємо цільову комірку – комірку зі значенням Skv , далі рівною мінімальному значенню. «Змінюючи комірки» зі значеннями параметрів, виділяємо діапазон цих значень і клацаємо команду «Виконати».

Врезультаті виконання цієї команди зміняться значення параметрів моделі, зміниться значення суми квадратів відхилень в комірці Skv , а графік моделі наблизиться до графіка полігону частот.

Впереважаючій більшості випадків модель відповідатиме своєму оригіналу, а її параметри можна вважати такими, що адекватно описують розподіл рівнів даного часового ряду.

38

МЕТА РОБОТИ

І. Знаходження параметрів розподілу Вейбула ІІ. Знаходження параметрів розподілу Релея

Графік часового ряду

Дати короткі коментарі до кожного графіка. Висновок.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ЗАСОБАМИ MS EXCEL

В загальному вигляді система з m лінійних рівнянь з n невідомими записується так

Рівняння системи вважають пронумерованими: перше, друге, … , m -те. Числа x1, x2 , , xn називаються невідомими системи; a11, a12 , , amn – коефіцієнтами при невідомих системи.

Коефіцієнт при невідомому xij в i -му рівнянні позначається через aij , де перший індекс i вказує номер рівняння, в якому знаходиться даний коефіцієнт,

40