ms_labs

а другий індекс j – номер невідомого, при якому знаходиться даний коефіцієнт. Наприклад, коефіцієнт a23 знаходиться в другому рівнянні системи при невідомому x3 .

Числа b1, b2 , , bm називаються вільними членами системи. Коротко систему (1) можна записати так:

рівняння даної системи, перетворює усі рівняння системи в тотожності. Система лінійних рівнянь (1) називається сумісною, якщо вона має

розв’язок. Якщо система лінійних рівнянь немає розв’язку, то вона називається

несумісною (або суперечливою).

Сумісна система лінійних рівнянь може мати один або декілька розв’язків і називатися визначеною, якщо вона має один єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо має більше одного розв’язку.

Дві системи лінійних рівнянь з одним і тим же числом невідомих називаються еквівалентними, якщо вони або обидві несумісні, або обидві сумісні і мають одні і ті ж розв’язки.

Наведені нижче три типи перетворень називаються елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь. Це такі:

1)перестановка двох рівнянь системи;

2)множення обох частин рівняння системи на будь-яке відмінне від нуля

число;

3)додавання до обох частин рівняння одного рівняння відповідних частин другого рівняння, помножених на будь-яке число.

Виконання елементарних перетворень рівносильне вираженню однієї змінної через інші.

Для знаходження розв’язків лінійної системи рівнянь існує багато методів. Найбільш поширеними серед них є метод Крамера, метод Гауса та матричний метод.

Мета роботи – знаходження засобами Ms Excel розв’язків системи лінійних рівнянь.

В даній роботі наведені три методи розв’язку систем лінійних рівнянь засобами Ms Excel. Кожен з цих методів докладно поданий покроковими інструкціями. Суть роботи полягає у розв’язку, вказаних викладачем систем

41

лінійних алгебраїчних рівнянь. Крім того. Завданням може бути самостійне складання системи рівнянь яка має розв’язок. Для цього потрібно скласти самому визначник, який не дорівнює нулю та довільно задати вільні члени. Якщо система не розв’язуватиметься очевидно треба буде змінити значення вільних членів або коефіцієнтів при змінних.

Метод Крамера.

Нехай дано систему лінійних рівнянь, в якій число рівнянь рівне числу невідомих:

Подамо складові даної лінійної системи в такий спосіб

де A – матриця системи, x – стовпчик невідомих, b – стовпчик вільних членів.

Припустимо, що визначник системи не дорівнює нулю, тобто:

Якщо тепер замінити послідовно у визначнику d стовпчики коефіцієнтів при невідомих x j ( j 1, 2, , n ) стовпчиком вільних членів bi , то отримаємо

відповідно такі визначники:

42

який обчислюється за формулами:

Формули (3) називаються формулами Крамера.

Приклад. Розв’язати засобами Ms Excel систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера. Система має такий вигляд:

Використовуючи матричну операцію «МОПРЕД», що знаходиться в категорії функцій «Математичні», виділяємо масив (визначника) B4:D6 і натискаємо ОК. В комірці D8 отримуємо значення d 6 , що й зображено на скриншоті справа від визначника системи.

43

2. Аналогічно обчислюємо визначники d1, d2 , d3 .

1 1 1 d3 2 1 4

41 2

3.Остаточно, використовуючи формули Крамера (3) знаходимо розв’язки даної лінійної системи алгебраїчних рівнянь:

Таким чином, практично безпосереднє отримання значення визначника уможливлює розв’язок системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими.

Матричний метод.

I. Система n лінійних рівнянь з n невідомими.

Систему (2) можна записати у вигляді матричного рівняння:

В розгорнутому вигляді систему (3) можна подати так

44

Розглянемо метод розв’язку системи (2) в загальному вигляді, який часом називають методом оберненої матриці. Вважаємо, що квадратна матриця Ann є не виродженою, тобто її визначник A 0 . В цьому випадку існує

обернена матриця A 1 . Помноживши зліва обидві частини матричної рівності

(3) на обернену матрицю A 1 , отримаємо:

A 1 A X A 1 B E X A 1 B E X X ,

де E – одинична матриця.

необхідно знайти обернену матрицю коефіцієнтів A 1 і помножити її справа на вектор вільних членів B .

Приклад 1. Розв’язати систему

3x 2y 7,4x 5y 40.

Розв’язок.

1. Ввести матрицю A (в даному випадку розміром 2 2) в діапазон А1:В2

2. Знайдіть обернену матрицю A 1 . Для цього:

виділіть блок комірок під обернену матрицю. Наприклад, виділіть блок

А3:В4

(вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші);

натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в отриманому діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі

Категорія

виберіть пункт Математичні, а в робочому полі Функція — ім’я

45

функції МОБР. Клацніть кнопкою ОК;

діалогове вікно МОБР, яке з’явилося мишкою відсуньте в сторону від

якщо обернена матриця не з’явилась в діапазоні А3:В4, то треба

3. Множенням оберненої матриці A 1 на вектор B знаходять вектор X . Для цього:

виділяють блок комірок під результуючу матрицю (під вектор X ). Її розмірність буде m p , в даному прикладі 2 1. Наприклад, виділіть блок комірок С3:С4 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші);

натискають на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в отриманому діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі

Категорія виберіть пункт Математичні, а в робочому полі Функція

— ім’я функції МуМнож. Клацнути кнопкою ОК;

Діалогове вікно МуМнож мишкою відсуньте в сторону від вихідних матриць і введіть діапазон оберненої матриці A 1 , тобто діапазон А3:В4 в робоче поле Массив1 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші), а діапазон матриці B тобто С1:С2 введіть в робоче поле Массив2. Після чого натиснути сполучення клавіш

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

якщо вектор X не з’явиться в діапазоні С3:С4, треба клацнути вказівником мишки в рядку формул и повторити натискання

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

Врезультаті в діапазоні С3:С4 з’явиться вектор X . Причому x 5 буде знаходитися в комірці С3, а y 4 – в комірці С4.

46

Можна здійснити перевірку знайденого розв’язку. Для цього знайдений вектор X необхідно підставити в вихідне матричне рівняння A X B. Перевірка здійснюється в такий спосіб.

1. Виділити блок комірок під результуючу матрицю (під вектор B ). Її розмірність буде m p , в даному прикладі 2 1. Наприклад, виділіть блок

комірок D1:D2 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші).

2.Натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функции.

3.В діалоговому вікні Майстер функцій на робочому полі Категорія виберіть Математичні, а на робочому полі Функція – ім’я функції МУМНОЖ. Клацніть кнопкою ОК.

4.Діалогове вікно МУМНОЖ мишкою відсуньте в бік від існуючих матриць і введіть діапазон вихідної матриці A – А1:В2 в робочому полі Масив1 (вказівником мишки при натиснутій лівій кнопці), а діапазон матриці

X – СЗ:С4 – на робочому полі Масив2. Після цього натиснути сполучення клавіш СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

5. Якщо вектор B не з’явився в діапазоні D1:D2, то треба клацнути вказівником мишки в рядку формул і повторити натискання

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

В результате в диапазоне D1:D2 появится вектор B , і, якщо система

47

виділити блок комірок під обернену матрицю. Наприклад, виділити

натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в отриманому діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі

Категорія

виберіть пункт Математичні, а в робочому полі Функція — ім’я функції МОБР. Клацніть кнопкою ОК;

діалогове вікно МОБР, яке з’явилося мишкою відсуньте в бік від

початкової матриці і введіть діапазон вихідної матриці А1:С3 в робоче поле Масив (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші). Натисніть сполучення клавіш СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR;

якщо обернена матриця не з’явилась в діапазоні А4:С6, то треба клацнути вкзівником мишки в рядку формул и повторити натискання сполучення клавіш СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

В результаті в діапазоні А4:С6 з’явиться обернена матриця.

3. Множенням оберненої матриці A 1 на вектор B знаходять вектор X . Для цього:

виділяють блок комірок під результуючу матрицю (під вектор X ). Її розмірність буде m p , в даному прикладі 3 1. Наприклад, виділіть блок комірок D4:D6 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші);

натисніть на панелі інструментів Стандартна кнопку Вставка функції;

в отриманому діалоговому вікні Майстер функцій в робочому полі

Категорія виберіть пункт Математичні, а в робочому полі Функція

— ім’я функції МуМнож. Клацнути кнопкою ОК;

Діалогове вікно МуМнож мишкою відсуньте в сторону від вихідних матриць і введіть діапазон оберненої матриці A 1 , тобто діапазон А4:С6 в робоче поле Массив1 (вказівником мишки при натиснутій лівій клавіші), а діапазон матриці B тобто D1:D3 введіть в робоче поле Массив2. Після чого натиснути сполучення клавіш

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

48

якщо вектор X не з’явиться в діапазоні D4:D6, треба клацнути вказівником мишки в рядку формул и повторити натискання

СТRL+SНIFТ+ЕNТЕR.

Врезультаті в діапазоні D4:D6 з’явиться вектор X . Причому x1 200

буде знаходитися в комірці D4, а x2 300 – в комірці D5, а x3 200 – в

комірці D6.

Рекомендується зробити перевірку, підставивши знайдені значення в рівняння системи. Для цього знайдений вектор X треба підставити в початкове матричне рівняння A X B.

Приклад 3. Знайти розв’язки системи

2x1 3x2 4x3 5x4 54x1 5x2 2x3 7x4 23x1 5x2 6x3 4x4 72x1 6x2 6x3 5x4 2

1. Ввести значення елементів матриць A і B рівняння в комірки Excel.

2. Обчислити обернену матрицю за допомогою матричної функції МОБР.

49

3. Перемножити обернену матрицю A 1 на матрицю B з допомогою матричної функції МУМНОЖ (Порядок множення є важливим – першою повинна бути матриця A 1 , а другою матриця B )

4. Перевірити правильність отриманої матриці розв’язків (коренів) X .

II. Система m лінійних рівнянь з n невідомими.

Система т лінійних рівнянь з п невідомими має такий вигляд:

50