ms_labs

де массив1 – масив значень першої вибірки, тобто J1:J50, а массив2 – відповідно другої – K1: K50. Натискаємо ОК і в зазначеній комірці отримуємо значення коефіцієнта кореляції rxy .

3. Перевірка гіпотез відносно коефіцієнта кореляції.

Стосовно нього можна висувати і перевіряти такі гіпотези:

1. Коефіцієнт кореляції значимо відрізняється від нуля, тобто між величинами є взаємний зв’язок. Для перевірки цієї гіпотези обчислюють тестову статистику за такою формулою

Обчислене значення порівнюється з табличним значенням коефіцієнта Стьюдента t p 0.95, f 1.96. Якщо тестова статистика є більшою за табличне значення, то коефіцієнт кореляції значимо відрізняється від нуля. З формули випливає, що чим більше вимірів n тим більшою є тестова статистика, а отже коефіцієнт кореляції значимо відрізняється від нуля.

2. Значення коефіцієнта кореляції є значимим, якщо обчислений коефіцієнт детермінації перевірити за допомогою критерію Стьюдента

Табличне значення t-критерію Стьюдента за довірчої ймовірності 0,95 і для числа ступенів вільності (n k 1) порівнюється з розрахунковим значенням. Якщо розраховане значення перевищує табличне, то коефіцієнт кореляції визнається значимим.

Оцінка значущості коефіцієнта парної кореляції з використанням t - критерію Стьюдента може бути розрахована за такою формулою

значенням t-критерію, яке береться з таблиці значень t Стьюдента з урахуванням заданого рівня значущості і числа ступенів свободи (n-2).

101

3. Відмінність між двома коефіцієнтами кореляції є значимою, якщо тестова статистика

яку також порівнюють з табличним значенням t p, 1.96

4. Кореляційна матриця.

У MS Excel для обчислення кореляційних матриць використовується процедура КОРЕЛЯЦІЯ з пакету Аналіз даних. Процедура дозволяє отримати кореляційну матрицю, що містить коефіцієнти кореляції між різними випадковими величинами. Для виконання лабораторної роботи реалізувати команду Сервіс Аналіз даних. Далі використовуємо функцію Генерація випадкових чисел, для якої вибираємо число змінних рівне 5 – 7, кількість випадкових чисел рівне 50, розподіл – рівномірний чи будь-який інший, параметри – від –10 до 10 або довільні, випадкове розсіювання рівне числу змінних (скільки генеруємо вибірок), вихідний інтервал – $A$1. В результаті виконання операції OK, отримуємо 5 – 7 вибірок випадкових чисел кожна обсягом 50 значень у вибраному діапазоні. Можна також генерувати вибірки різних розподілів (див. лабораторну роботу 4) з різними діапазонами.

Для побудови кореляційної матриці необхідно:

–ще раз виконати команду Сервіс Аналіз даних;

–в списку Інструменти аналізу вибрати рядок КОРЕЛЯЦІЯ і натиснути кнопку ОК;

–в діалоговому вікні вказати Вхідний інтервал, тобто ввести посилання на клітинки, які містять аналізовані дані. Вхідний інтервал повинен містити не менше двох стовпців.

–в розділі Групування перемикач встановити відповідно до введених даних, тобто за стовпцями чи за рядками;

–вказати Вихідний інтервал, тобто ввести посилання на клітинку, з якої будуть виведені результати аналізу. Розмір вихідного діапазону буде визначений автоматично, і на екран може бути виведене повідомлення у разі можливого накладення вихідного діапазону на вхідні чи інші дані. Натиснути кнопку ОК.

В результаті у вихідний діапазон буде виведена кореляційний матриця, в якій на перетині кожних рядка і стовпця знаходиться коефіцієнт кореляції між

102

відповідними їм параметрами. Значення коефіцієнтів кореляції рівне 1 , розміщених вздовж діагоналі, вказує на те, що кожен стовпець у вхідному діапазоні повністю корелює сам з собою.

В процесі інтерпретації кожен коефіцієнт кореляції між відповідними параметрами розглядається окремо. Зазначимо, що хоча в результаті буде отримана трикутна матриця, кореляційна матриця є симетричною, оскільки в порожніх клітинках в правій верхній половині таблиці знаходяться ті ж самі коефіцієнти кореляції, що і в нижній лівій (симетрично розташовані відносно діагоналі.

Результати виконання лабораторної роботи навести у звіті разом з скриншотами відповідних фрагментів, які їх пояснюють.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8

ПОБУДОВА РЕКУРЕНТНИХ ДІАГРАМ

В різноманітних сферах людської діяльності зустрічаються системи, які характеризуються своєю поведінкою з точки зору її складності, динамічності, особливості існуючих в цій системі процесів. Такі системи опосередковано чи безпосередньо впливають на діяльність людей, оточуюче середовище, а тому необхідно і важливо вивчати, досліджувати і моделювати їх динаміку та передбачати їх поведінку з плином часу. Складні динамічні системи переважно характеризуються нерегулярною динамікою поведінки, проявами якої є, як випадкові, так і детерміновані хаотичні процеси. Спостереження за такими системами та їх експериментальні дослідження подаються часовими рядами – дискретною послідовністю випадкових величин, що є значеннями відповідних показників, впорядкованими за часом їх отримання, які характеризують стан об’єкта спостереження в окремі моменти часу. Іншими словами, сукупність таких вимірів (показників) на протязі певного періоду часу являють собою часовий ряд. Основною метою аналізу часових рядів отримання інформації про властивості і механізм системи, яка генерує даний ряд. Саме вони є основою моделювання таких систем. Часові ряди є дискретними послідовностями чисел, які розподілені регулярно або випадково в часовому інтервалі спостереження за системою. Кожному числу відповідає момент його спостереження, тобто ці числа є впорядковані відносно біжучого часу функціонування системи. Такий спосіб представлення інформації про явища, еволюційні процеси, рухи та динаміку досліджуваної системи є дуже поширеним і зручним. В деяких

103

випадках, дискретні спостереження або вимірювання є цілком природними або, й навіть, єдиним можливим способом збору інформації про систему, а в інших

– дискретність використовується для даних в задачах попереднього моделювання, прогнозування та отримання наближених оцінок функціональної придатності системи або пов’язана з вибором способу спостереження.

За останні десятиліття арсенал статистичних методів обробки та аналізу експериментальних даних суттєво поповнився методами нелінійної динаміки. Принципи роботи з такими методами, подані літературними джерелами вказують на те, що більшість методів нелінійної динаміки потребують досить довгих і стаціонарних часових рядів, за винятком, хіба що, методу рекурентного аналізу. Застосування статистичних методів для роботи з часовими рядами певною мірою забезпечує адекватність побудованої моделі досліджуваному явищу, процесу чи об’єкту, проте подати динаміку їх розвитку ними є досить проблематично. Статистичні методи дозволяють успішно розв’язувати задачі визначення форми і тісноти зв’язку між факторами і результативними показниками, дають кількісні оцінки та якісні характеристики об’єктів.

Для проведення рекурентного аналізу при дослідженні динамічних систем не потрібно наявності великого обсягу первинних даних, достатньо часового ряду даних одного вимірювального експерименту. Рекурентні діаграми, отримані в процесі аналізу часових рядів, мають у своїй основі геометричну структуру. Основна діагональ на рекурентній діаграмі має вигляд чорної діагональною лінії – лінії ідентичності. Окремі точки на діаграмі не несуть ніякої інформації, однак, в сукупності дозволяють реконструювати властивості досліджуваного процесу. В дослідженні процесів з використанням рекурентних діаграм розглядають два типи структур: топологію і текстуру. При цьому топологія, яка відповідає великомасштабним структурам дає загальне уявлення про характер процесу і відносить його в такі класи: однорідні, періодичні, дрейф і білі області. Текстура характеризує дрібномасштабну структурою діаграми і складається з окремих точок та діагональних, горизонтальних і вертикальних ліній.

Основною рисою, яка виділяє аналіз часових рядів серед інших видів статистичного аналізу є суттєвість порядку, в якому відбуваються спостереження. Виявлення закономірностей зміни рівнів ряду і побудова його моделі в цілях прогнозування, і дослідження взаємозв’язків між явищами є метою дослідження часового ряду.

Метою лабораторної роботи є вивчення можливостей використання засобів MS Excel для побудови рекурентних діаграм коротких часових послідовностей.

Застосування методу рекурентних діаграм має важливе значення в тому, що на відміну звичайного подання часового ряду графіком в декартовій системі координат як характерних особливостей послідовності значень рівнів

104

та їхньої тенденції, рекурентні діаграми дають інформацію про іншу його характеристику, а саме – поведінку у фазовому просторі.

Також варта відмітити, що сам по собі рекурентний аналіз, являє собою багате поле для досліджень, як самого методу, так і аспектів його застосування.

1. Поняття рекурентної діаграми та її властивості.

Суть рекурентних діаграм полягає у візуалізації функціональної діяльності та динаміки систем на основі даних спостереження, що дає змогу зрозуміти основні властивості і структури, відображені спостережуваними даними.

Опис динамічних систем, тобто систем, в яких з часом змінюються параметри здійснюють шляхом опису зміни їх станів, вказуючи функціональну залежність стану системи від значень на її входах в конкретні моменти часу. В математичному сенсі, будь-яка динамічна система може бути подана як рух зображуючої точки у фазовому просторі – просторі станів. Основною характеристикою такого простору є його розмірність. Розмірність фазового простору визначається кількістю величин, що характеризують стан системи. Кожна з цих величин є фазовою координатою в цьому просторі, а їх сукупність утворює вектор, який і описує стан системи. кожному стану системи відповідає певна точка фазового простору – зображувальна точка. Послідовність цих точок у фазовому просторі відображає рух системи або, точніше, зміну станів системи, відповідає деякій траєкторії, яку називають фазовою траєкторією. Проекція фазової траєкторії на фазову площину утворює фазовий портрет. Графічне зображення фазової траєкторії дає характеристику поведінки системи.

При дослідженні складних систем досить часто їх можна охарактеризувати навіть єдиним спостережуваним показником, виміряним в дискретні моменти часу t , оскільки заміряти інші показники, практично, або неможливо або дуже складно. Інтервал t може бути постійною величиною або випадковою, хоча в останньому випадку це створює додаткові і часом значні труднощі щодо обробки спостережуваних даних.

Взаємодії у складних системах є такими, що отримана фазова траєкторія, в якій зберігається структура оригінальної фазової траєкторії може бути відновлена, у відповідності з теоремою Такенса [15], з одного часового ряду

нашому випадку t 1, отримуємо ряд X t x t1 t , x t2 t , , x tn t . Пари значень x ti ; x ti t є фазовими координатами зображуючої точки на фазовій

площині, яка відображає фазову траєкторію станів системи. Графічно, динаміка системи в обмеженій області фазової площини подається зображенням фазових траєкторій. У 1890 році А.Пуанкаре опублікував сформульовану ним теорему рекурентності, а саме: якщо система зводить свою динаміку до обмеженої

105

підмножини фазового простору, то система майже напевно, тобто з вірогідністю, практично рівною одиниці як завгодно близько повертається до певного наперед заданого режиму. Суть цієї фундаментальної властивості полягає в тому, що через деякий час система прагне повернутися до деякого стану, певним чином близькому до минулого і проходить при цьому подібні стани еволюції [10].

еквівалентні, а координатні осі є осями часу називають рекурентною діаграмою.

Рекурентна діаграма описується таким співвідношенням

центрована відносно точки , тобто радіус околиці у фазовому просторі з

xi

центром в точці xi . У випадку одномірного часового ряду замість околиці

ставиться точка Ri, j 1. Радіус i може бути постійним для всіх xi , а може

визначатися для кожної точки окремо, щоб в отриману околицю завжди потрапляла визначена кількість подібних станів. Переважно використовується постійне значення i , що призводить до отримання симетричної рекурентної

відстаней. .

Рисунок рекурентної діаграми відображає поведінку процесу в часі і дає підстави для висновків щодо його характеру за її топологією і текстурою.

Побудова рекурентної діаграми у середовищі табличного процесора

MS Exсel.

Для ілюстрації методу побудови рекурентної діаграми засобами табличного процесора MS Exсel згенеровано три часові ряди, форма яких відповідає гармонічному, трикутному та меандровому сигналам в той спосіб, що значення в часовому ряді повторюються повними циклами. Обсяг цих рядів становив N 100, а їхні значення належать інтервалу 1, 1 .

106

Реалізація даного методу побудови рекурентних діаграм в середовищі табличного процесора MS Excel здійснювалась в рамках експериментальних досліджень операторського персоналу, в сенсі ідентифікації операторів, на підставі індивідуальних часових рядів значень часу розпізнавання в послідовності зображень-тестів об’єктів заданого класу локалізованих на цих зображеннях випадковим чином. Тому значення цих сигналів були приведені до величин порівнюваних зі значеннями індивідуальних часових рядів, тобто приведені до інтервалу 300 900 ms шляхом виключення від’ємних значень – додаючи додатне число рівне максимальному значенню від’ємного числа і помноження кожного з отриманих значень на величину з цього інтервалу.

Побудова фазових портретів. Для побудови фазових портретів таких часових рядів, для кожного з них, здійснено затримку t 1, тобто поряд з кожним таким рядом розміщений цей самий ряд, але зміщений відносно себе на одне значення.

На робочому аркуші, робочої книги MS Exсel, згенеровані значення представлені величинами, наближеними до значень, які збігаються зі значеннями реальних часових рядів, отриманими окремому експериментальному дослідженні і, власне для них досліджується можливість побудови рекурентних діаграм засобами MS Exсel. Для цього значення

X гарм t , X меадр t та X трик t приведені до Z множини цілих додатних чисел, з

допомогою Майстра діаграм, використовуючи вкладку Стандартні і тип діаграми Точкова отримано фазові портрети, зображені на рис. 1.

Побудова рекурентної діаграми здійснюється за тими самими даними, що використані для побудови фазових портретів. Різниця полягає в тому, що записують їх в робочій книзі MS Exсel два рази, тобто перший і третій стовпчики та другий і четвертий є ідентичними як показано на рис. 2. На цьому рисунку справа виділено місце для матриці близькостей – зображення рекурентної діаграми. В даному випадку, це має суттєве значення, оскільки рекурентна діаграма одномірного часового ряду є фактично матрицею близькості між зображаючими точками на фазовій площині. Аналогом радіуса

107

На відміну від матриці близькості рекурентна діаграма містить лише ті значення відстані, які належать до інтервалу i , але подає їх не обчисленими

числовими значеннями, а двійковими логічними символами, тобто відстань

само і рекурентна діаграма має свою таку діагональ, лишень відмінність між ними в тому, що на головній діагоналі матриці розташовані нулі (відстань між даним елементом і ним самим рівна нулю), а на головній діагоналі рекурентної діаграми розташовані створені в табличному процесорі MS Exсel розташовані одиниці (як результат значення предикату).

Таким чином, для побудови рекурентної діаграми необхідно подати даний часовий ряд так, як для побудови фазового портрету, тобто змістити ряд відносно себе самого і прийняти значення даного ряду за координати незалежної змінної вздовж осі абсцис, а значення зміщеного ряду прийняти за значення координат залежної змінної вздовж осі ординат. зауважимо, що в цьому випадку кількість зображуючих точок буде N 1, за рахунок втрати одного рівня при зсуванні ряду, першого чи останнього

108

цю точку, визначені і знаходяться в стовпчику Н переходимо до точки B5; C5 . Для цього зробимо в формулі (3) заміну $B$4 і $C$4 на $B$5 і $C$5

=ЕСЛИ(КОРЕНЬ(($B$5-$E4)^2+($C$5-$F4)^2)<ε;1;0), (4)

Далі, використовуючи автозаповнення отримаємо значення відстаней від точки B5;C5 до всіх інших точок. Перебираючи в такий спосіб точки отримуємо зображення рекурентної діаграми, фрагмент якої зображений за допомогою нулів і одиничок на рис. 3.

Рис. 3. Фрагмент рекурентної діаграми

Чим менша дисперсія і гладкіший тренд відстань буде меншою. З другої сторони, чим меншим є , тим менше клітинок діаграми буде зайнято одиничками.

Рекурентні діаграми побудовані в середовищі табличного процесора MS Exсel мають вигляд зображений на рис. 4. Деякі артефакти на зображенні рекурентних діаграм є результатом стиску зображення, оскільки вони самі є таблицями, а не зображеннями.

110