2.6. 1. Метод Бубнова

В этом методе за условие минимума невязки r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) принимается ортогональность невязки к координатным функциям U 4i 0(x), i=1,2,..,n на промежутке [a,b].

Как известно, две функции 7 f 41 0(x) и 7 f 42 0(x) называются ортого нальными на промежутке [a,b] 0, если

 7! 0b

 72f 41 0(x) 7f 42 0(x)dx 4  0= 4  00 4.

 71 0a

Составляя условие ортогональности для невязки, получим систему уравнений

 7! 0b

 72 0 r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) U 4i 0(x)dx=0, i=1,2,...,n. (2.127)

 71 0a

Из этой системы определяются постоянные С 41 0,С 42 0,...,С 4n 0 искомого решения (2.123).

Соотношению (2.127) можно придать простой механический смысл. Например, в задаче об изгибе балки дифференциальное уравнение упругой линии можно записать в виде EIy 5iv 0 + q = 0, где у(x) - прогиб в произвольном сечении балки, q – интенсивность внешней распределенной нагрузки. В левой части этого уравнения стоит сумма проекций всех сил, приложенных к элементу балки, на вертикальную ось. Если выбрать прогиб y(x) в форме (2.123) и составить систему (2.127), то каждое уравнение этой системы можно трактовать как равенство нулю работы всех сил на возможных перемещениях U 4i 0(x), то есть как общее условие равновесия механической системы.

2.6.2. Метод наименьших квадратов

При решении краевой задачи (2.121),(2.122) методом наименьших квадратов искомая функция y(x) отыскивается в том же виде (2.123) с теми же требованиями к подбираемым координатным функциям U 4i 0(x), i=0,1,2,...,n. Но для определения констант С 4i 0, (i=1,2, ...,n) составляется функция

 7! 0b

S(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) = 7 2 0 r 52 0(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)dx, (2.128)

 71 0a

называемая интегральной квадратичной ошибкой аппроксимации решения.

Условие минимума функции S, как функции многих переменных, приводит к системе

 1д 0S

--- = 0, i=1,2,...,n, (2.129)

 1д 0C 4i

из которой и определяются постоянные C 41 0, C 42 0,...,C 4n 0.

2.6.3. Метод коллокаций

В методе коллокаций неизвестные параметры C 41 0, C 42 0,...,C 4n 0 определяются из условия, чтобы невязка r(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) обращалась в нуль в n внутренних точках a<x 41 0<x 42 0<x 43 0<...<x 4n 0<b промежутка [a,b]. Эти точки, в которых дифференциальное уравнение задачи точно удовлетворяется, называются  точками коллокации 0. В результате получаем систему уравнений вида

r(x 4i 0,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)= 0, i=1,2,...,n. (2.130)

решая которую находим коэффициенты C 4i 0, i=1,2,...,n. Заметим, что точки коллокации могут быть выбраны, вообще говоря, произвольно, но их выбор существенно влияет на точность решения задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу отыскания прогибов шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.3)

y¦

¦ q

¦

+-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-T-¬

¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦

+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+----

¦ ¦ x

¦ y(x) ¦

¦ l ¦

+-------------------------+

Рис. 3

Задача сводится к решению дифференциального уравнения

EIy 5iv 0 + q = 0 (2.131)

при граничных условиях:

y(0) = y 5'' 0(0) 5  0= 0,

y(l) = y 5'' 0(l) 5  0= 0. (2.132)

Ограничиваясь двучленным приближением, будем искать решение уравнения в виде

 7p 0x 3 7p 0x

y = C 41 0U 41 0 + C 42 0U 42 0 = C 41 77 0sin -- + C 42 77 0sin --- . (2.133)

l l

 ш0

Выбранные функции удовлетворяют всем перечисленным выше требованиям. Они линейно независимы, непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют граничным условиям (2.132).

Подставляя (2.133) в уравнение (2.131), получим невязку

EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 )

r(x,C 41 0,C 42 0)= ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q. (2.134)

l 54 0  79  0 l l 7 0

 Решение методом Бубнова.

Из условия ортогональности невязки (2.134) к выбранным координатным функциям согласно (2.127) следует

 7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0  7p 0x

 72 0  72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q 7 27 0sin -- dx = 0,

 71 00 7[ 0 l 54 0  79  0 l l 7 0 ] 0 l

 7! 0l 7{ 0 EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 0 3 7p 0x

 72 0  72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q 7 27 0sin --- dx = 0.

 71 00 7[ 0 l 54 0  79  0 l l 7 0 ] 0 l

После интегрирования получим систему

 7( 0 l 8ql 55

 72 0 - С 41 0 + ---- = 0,

 72 0 2  7p 55 0EI

 7*

 72

 72 0 81 2ql 55

 72 0 -- l 77 0C 42 0 + ----- = 0,

 79 0 2 3 7p 55 0EI

решая которую, находим

16ql 54 0 4ql 54

C 41 0 = - ----- 4  0, C 42 0 = - -------- .

 7p 55 0EI 243  7p 55 0E

Подставляя C 41 0 и C 42 0 в искомое решение, получим при x=l/2

ql 54

y 4max 0 = y(l/2) = - 0.01301 ---.

EI

Точное значение максимального прогиба ( с точностью до четырех значащих цифр) равно

ql 54

y 4max 0 = y(l/2) = - 0.01302 ---. (2.135)

EI

Как видим, ошибка, полученная при решении методом Бубнова в двучленном приближении, составляет сотые доли процента.

 Решение методом наименьших квадратов.

Решение по-прежнему отыскиваем в форме (2.133). Интегральная квадратичная ошибка согласно (2.128) будет равна

 7! 0b

S(C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0) = 7 2 0 r 52 0(x,C 41 0,C 42 0,...,C 4n 0)dx =

 71 0a

 7! 0l 5  7{ 0 EI 7p 54 0  7( 0  7p 0x 3 7p 0x 7 ) } 52

=  72 0  5  72 0 ---- 7 2 0 C 41 0sin -- + 81C 42 0sin ---  72 0 + 7  0q 7 2 0 dx =

 71 00 5  7[ 0 l 54 0  79  0 l l 7 0 ]

 7( 0 EI 7p 54 7 ) 52 7 { 0 1 4 2 0 81 52 4 2 0 ql 54 7 (  04  7  0 108  7)}

=  72  0---- 7 2 72 0 - C 41 0 + --- C 42 0 + ---- 7 2 01 + 7  0- 7  0C 41 7  0+ --- C 42 722 0.

 79 0 l 54 7 0 [ 0 2 2  7p 54 0EI 7 9  0  7p 0  7p  0  70]

Вычисляя производные  1д 0S/ 1д 0C 41 0, 4  1д 0S/ 1д 0C 42 0 и приравнивая их нулю, получим систему

 7( 0 4ql 54

 72 0  7p7 0С 41 0 + ---- = 0,

 72 0  7p 54 0EI

 7*

 72 0 ql 54

 72 0 81 52 7p7 0C 42 0 + 108 5  0---- = 0,

 79 0  7p 54 0EI

решение которой дает те же значения постоянных C 41 0 и C 42 0, что и в методе Бубнова:

16ql 54 0 4ql 54

C 41 0 = - ----- 4  0, C 42 0 = - -------- .

 7p 55 0EI 243  7p 55 0EI

Поэтому результаты решения краевой задачи (2.131), (2.132) методами Бубнова и наименьших квадратов полностью совпадают.

 Решение методом коллокаций.

За точки коллокации выбираем точки x 41 0 = 1/3 и x 42 0 = 1/2. Приравнивая нулю невязку (2.134) в точках коллокации, получим систему

 4_

 7( 0  7? 03 ql 54

 72 0 С 41 0 -- + ---- = 0,

 72 0 2  7p 54 0EI

 7*

 72 0 ql 54

 72 0 C 41 0 - 81 77 0C 42 0 + 5  0---- = 0.

 79 0  7p 54 0

В результате находим

 4_

2ql 54 0  7? 03 -2 ql 54

C 41 0 = - ------- , C 42 0 = ------- --- .

 7? 03  7p 54 0EI 81 7? 03  7p 54 0 EI

По формуле (2.133) при x=l/2 с учетом найденных констант получим прогиб в среднем сечении балки

ql 54

y(l/2) = - 0.01183 ---.

EI

  Сравнение с точным решением (2.135) показывает, что ошибка, полученная при использовании метода коллокаций, составляет примерно 9%.