2.5.2. Метод Эйлера

Рассмотрим нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 7(  0 dy 41

 72 0 --- = a 411 0y 41 0 + 4  0a 412 0y 42  0+ 4 ...  0a 41n 0y 4n 0,

 72 0 dx

 72

 72 0 dy 42

 7*  0 --- = a 421 0y 41 0 + 4  0a 422 0y 42  0+ 4 ...  0a 42n 0y 4n 0,

 72 0 dx (2.100)

 72 0 ................................

 72 0 dy 4n

 72 0 --- = a 4n1 0y 41 0 + 4  0a 4n2 0y 42  0+ 4 ...  0a 4nn 0y 4n 0.

 79 0 dx

Будем искать решение системы в виде

 4kx 0  4kx 0  4kx

y 41 0= 7 a 41 77 0e , y 42 0= 7 a 42 77 0e ,..., y 4n 0= 7 a 4n 77 0e , (2.101)

где  7a 41 0,  7a 42 0,..., 7a 4n 0, k - постоянные. Подставляя (2.101) в (2.100), сокращая на e 5kx 0 , после элементарных преобразований получим

 5   0L+

 7( 0 (a 411 0-k) 7a 41 7  0+ a 412 7 a 42 0 +  4... 0+ a 41n 0  7a 4n 0 = 0 4,

 72 0 a 421 7a 41 7  0+ (a 422 0-k) 7 a 42 0 +  4... 0+ a 42n 0  7a 4n 0 = 0 4,

 7* 0 .....................................

 72 0 (2.102)

 79 0 a 4n1 7a 41 7  0+ a 4n2 7 a 42 0 +  4... 0+ (a 4nn 0-k)  7a 4n 0 = 0 4.

Как известно, чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (2.102) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю

 72 0 a 411 0- k 7  0 a 412 7  0 ... a 41n 7 2

 72 0 a 421 0 a 422 0-k  4... 0 a 42n 7 2

 72 0 .......................  72  0= 0. (2.103)

 72 0 a 4n1 0 a 4n2 7  0  4... 0 a 4nn 0- k 7 2

Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k. Уравнение (2.103) называется  характеристическим или вековым уравнением , а его корни – корнями характеристического уравнения или  собственными значениями . Если все корни (i=1,2,...,n) этого уравнения действительные и различные числа (ограничимся только этим случаем), то последовательно подставляя их в систему (2.102), найдем соответствующие этим корням нетривиальные решения(i = 1,2, ..., n - номер корня) системы и затем n частных решений системы дифференциальных уравнений (2.101) в виде

(2.104)

Здесь первый индекс указывает номер неизвестной функции, а второй - номер корня. Полученные таким образом n частных решений линейной однородной системы (2.100)

образуют фундаментальную систему решений этой системы.

Следовательно, общее решение однородной системы дифференци-

альных уравнений (2.100) запишется в виде

или

……………………………………………….

где - произвольные постоянные.

 Пример . Решить методом Эйлера систему

(2.105)

Принимаем

. (2.106)

Подставляя (2.106) в (2.105), получим систему

  (2.107).

Характеристическое уравнение системы будет

Следовательно,

или . Корни уравнения,- действительны и различны. Подставляяв (2.107), получим

(2.108).

Система (2.108) совместная, но неопределенная. Полагая получим. Тогда

. (2.109)

Подставляем теперь в систему (2.108) .

(2.110)

Решение этой системы принимаем в виде  . При этом

(2.111)

Общее решение однородной системы (2.105) будет иметь вид

.

( 2.112)

Соседние файлы в папке Метода по ОДУ теория