- •2.3. Задачи на собственные значения
- •2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами
- •2.4.1. Уравнение Эйлера
- •2.4.2. Решение задачи Коши методом степенных рядов
- •2.4.3. Построение общего решения линейного неоднородного уравнения методом степенных рядов
- •2.4.4. Применение формулы Тейлора
- •2.4.5. Особенности суммирования рядов на эвм, шаговый подход в методах степенных рядов
- •2.5. Системы дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Метод исключения
- •2.5.2. Метод Эйлера
- •2.5.3. Метод вариации произвольных постоянных
- •2.6. Приближённые аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2.6. 1. Метод Бубнова
- •2.6.2. Метод наименьших квадратов
- •2.6.3. Метод коллокаций
2.5.2. Метод Эйлера
Рассмотрим нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
7( 0 dy 41
72 0 --- = a 411 0y 41 0 + 4 0a 412 0y 42 0+ 4 ... 0a 41n 0y 4n 0,
72 0 dx
72
72 0 dy 42
7* 0 --- = a 421 0y 41 0 + 4 0a 422 0y 42 0+ 4 ... 0a 42n 0y 4n 0,
72 0 dx (2.100)
72 0 ................................
72 0 dy 4n
72 0 --- = a 4n1 0y 41 0 + 4 0a 4n2 0y 42 0+ 4 ... 0a 4nn 0y 4n 0.
79 0 dx
Будем искать решение системы в виде
4kx 0 4kx 0 4kx
y 41 0= 7 a 41 77 0e , y 42 0= 7 a 42 77 0e ,..., y 4n 0= 7 a 4n 77 0e , (2.101)
где 7a 41 0, 7a 42 0,..., 7a 4n 0, k - постоянные. Подставляя (2.101) в (2.100), сокращая на e 5kx 0 , после элементарных преобразований получим
5 0L+
7( 0 (a 411 0-k) 7a 41 7 0+ a 412 7 a 42 0 + 4... 0+ a 41n 0 7a 4n 0 = 0 4,
72 0 a 421 7a 41 7 0+ (a 422 0-k) 7 a 42 0 + 4... 0+ a 42n 0 7a 4n 0 = 0 4,
7* 0 .....................................
72 0 (2.102)
79 0 a 4n1 7a 41 7 0+ a 4n2 7 a 42 0 + 4... 0+ (a 4nn 0-k) 7a 4n 0 = 0 4.
Как известно, чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений (2.102) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю
72 0 a 411 0- k 7 0 a 412 7 0 ... a 41n 7 2
72 0 a 421 0 a 422 0-k 4... 0 a 42n 7 2
72 0 ....................... 72 0= 0. (2.103)
72 0 a 4n1 0 a 4n2 7 0 4... 0 a 4nn 0- k 7 2
Раскрывая этот определитель, получим алгебраическое уравнение n-ой степени относительно k. Уравнение (2.103) называется характеристическим или вековым уравнением , а его корни – корнями характеристического уравнения или собственными значениями . Если все корни (i=1,2,...,n) этого уравнения действительные и различные числа (ограничимся только этим случаем), то последовательно подставляя их в систему (2.102), найдем соответствующие этим корням нетривиальные решения(i = 1,2, ..., n - номер корня) системы и затем n частных решений системы дифференциальных уравнений (2.101) в виде
(2.104)
Здесь первый индекс указывает номер неизвестной функции, а второй - номер корня. Полученные таким образом n частных решений линейной однородной системы (2.100)
образуют фундаментальную систему решений этой системы.
Следовательно, общее решение однородной системы дифференци-
альных уравнений (2.100) запишется в виде
или
……………………………………………….
где - произвольные постоянные.
Пример . Решить методом Эйлера систему
(2.105)
Принимаем
. (2.106)
Подставляя (2.106) в (2.105), получим систему
(2.107).
Характеристическое уравнение системы будет
Следовательно,
или . Корни уравнения,- действительны и различны. Подставляяв (2.107), получим
(2.108).
Система (2.108) совместная, но неопределенная. Полагая получим. Тогда
. (2.109)
Подставляем теперь в систему (2.108) .
(2.110)
Решение этой системы принимаем в виде . При этом
(2.111)
Общее решение однородной системы (2.105) будет иметь вид
.
( 2.112)