МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МАМИ"

Кафедра “Прикладная и вычислительная математика"

Е.А. Коган, В.Е. Попович

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Операционное исчисление

Под редакцией чл.-корр. РАН

Э.И. Григолюка

Допущено

Министерством образования РФ

в качестве учебного пособия по курсу

"Высшая математика" для студентов

высших технических учебных заведений

Москва 2001

УДК 517.91 (095)

Коган Е.А., Попович В.Е. Обыкновенные дифференциальные уравнения и операционное исчисление. Учебное пособие по курсу "Высшая математика" для студентов втузов. Под редакцией Э.И.Григолюка - М.: МАМИ, 2001. - с.

Приведены краткие теоретические сведения по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и по решению их операционным методом. Помимо основного материала, соответствующего программе курса высшей математики для втузов, излагаются сведения о применении степенных рядов к интегрированию дифференциальных уравнений. Изложение материала сопровождается подробными решениями типовых задач. Для самостоятельного решения приведены варианты расчетно – графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению. - Библ. 10.

С Московский государственный технический университет "МАМИ"

2001

ВВЕДЕНИЕ

Настоящее пособие является руководством к решению задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению и содержит теоретические сведения в краткой справочной форме (без выводов и доказательств) в объеме, необходимом для понимания сути обсуждаемых методов решения дифференциальных уравнений, встречающихся в расчетно-графических работах по упомянутым разделам курса. Строгое и подробное изложение теории дифференциальных уравнений и операционного исчисления содержится во многих учебниках и пособиях [1-13].

Изучение дифференциальных уравнений имеет важнейшее значение в математической подготовке инженера. Объясняется это тем, что дифференциальные уравнения представляют собой математические модели самых разнообразных процессов и явлений, так как их решения позволяют описать эволюцию изучаемого процесса, характер происходящих с материальной системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.

Вывод дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений), описывающих то или иное явление, представляет собой отдельную самостоятельную задачу. Сложность ее состоит в том, что при выводе дифференциальных уравнений необходимо удовлетворить противоречивым требованиям. С одной стороны, построенная математическая модель должна быть адекватной рассматриваемому явлению. С другой стороны, получающиеся дифференциальные уравнения должны иметь по возможности простое решение. Это требует введения различных допущений физического характера, а следовательно, глубокого понимания сути рассматриваемого явления.

С выводом и применением дифференциальных уравнений (или их систем) к решению тех или иных прикладных задач студенты встречаются при изучении различных общеобразовательных и специальных курсов (физики, теоретической механики, сопротивления материалов, электротехники и др.). Предметом настоящего пособия является изучение методов решения дифференциальных уравнений и их систем.

Пособие состоит из трех разделов.

Первый раздел посвящен обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка. В нем даны краткие теоретические сведения и типовые примеры решения уравнений первого порядка различного типа, интегрируемых в квадратурах.

Во втором разделе рассмотрены точные и приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными и переменными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Подробно изложена методика применения степенных рядов к решению задачи Коши и краевой задачи для линейных дифференциальных уравнений.

Третий раздел посвящен операционному исчислению. В нем кратко изложены основные свойства преобразования Лапласа, методы обратного преобразования Лапласа, решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. Приведены примеры решения соответствующих задач.

В приложениях даны варианты расчетно - графических работ по обыкновенным дифференциальным уравнениям и операционному исчислению.