1.1.6. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

(1.21)

где

Уравнение Бернулли является нелинейным, но оно приводится к линейному следующим преобразованием:

1) Обе части уравнения умножаются на ,тогда

 

2) Далее применяется подстановка

 

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

, следовательно,

В результате уравнение становится линейным относительно функции

z:

. (1.22)

Уравнение (1.22) может быть решено методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли.

 Пример. Решить уравнение

Умножаем обе части уравнения на

 Полагаем и уравнение преобразуется в линейное

 

(1.23)

 

Находим сначала решение соответствующего линейного однородного уравнения

 

 

Решение неоднородного уравнения (1.23) отыскиваем в виде

тогда

 

После интегрирования получим

поэтому общее решение исходного уравнения будет иметь вид

 

1.1.7. Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение вида

(1.24)

называется уравнением в полных дифференциалах, если коэффициенты M(x,y) и N(x,y) представляют собой непрерывные и дифференцируемые функции, удовлетворяющие условию

 

(1.25)  

 

Условие (1.25) есть необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения (1.24) представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных du(x,y). Поэтому уравнение (.24) может быть представлено в компактной форме

Следовательно, его общий интеграл, а значит, и общий интеграл уравнения (1.24) имеет вид

Как известно, полный дифференциал функции двух переменных равен

(1.26)

 

Сравнивая выражение (1.26) и левую часть уравнения (1.24),можно заключить, что

 

(1.27)

 

Интегрируя, например, первое из выражений (1.27), получим

(1.28)

где - произвольная функция интегрирования (в частности, она может быть константой). Заметим, что при вычислении интеграла в (1.28) функция y рассматривается как постоянная. Функцияопределяется из решения дифференциального уравнения, получающегося из соотношения (1.28) и второго условия (1.27).

 Пример. Решить уравнение

(1.29)

Здесь и

 

Поэтому уравнение (1.29) является уравнением в полных дифференциалах. Следовательно,

 

 

Дифференцируя последнее равенство по y и приравнивая значению N,получим

 

 

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, находим Таким образом, общий интеграл исходного уравнения равен

или при