1.1.1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.

Поле направлений. Изоклины

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной . Задавая координаты x,y произвольной точки на плоскости, можно определить значение производной в этой точкето есть найти направление касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Поэтому говорят, что дифференциальное уравнение первого порядка определяет поле направлений на плоскости. В каждой точке плоскости известно направление касательной к интегральной кривой, проходящей через данную точку. Геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одинаковый наклон, то есть выполняется соотношениеназывается изоклиной данного дифференциального уравнения.

 Уравнение изоклины, соответствующей значению C, будет, очевидно, . Построив семейство изоклин, можно приближенно найти семейство интегральных кривых данного уравнения.

Знание изоклин позволяет во многих случаях даже для не интегрируемых явно дифференциальных уравнений, выявить характер интегральных кривых.

 Пример. Построить методом изоклин интегральную кривую уравнения

 

проходящую через заданную точку M(0;1).

Уравнение изоклин получим, полагая следовательно,

 или

Таким образом, изоклинами данного уравнения являются концентрические окружности с центром в начале координат, причем угловой коэффициент касательной к искомым интегральным кривым равен радиусу этих окружностей С. Для построения поля направлений даем постоянной С различные определенные значения: C = 0,5; 1;

1,5; 2,... Для изоклины, соответствующей, например, C=1, следовательно, окружность радиуса C=1 интегральные кривые пересекают под одним и тем же углом, составляющимс положительным направлением оси OX. Поле направлений на плоскости изображается штрихами. После этого уже можно приближенно провести искомые интегральные кривые, в частности, через заданную точку (см.рис.).

y

¦

¦

¦

¦

-------------+--------------- x

¦

¦

¦

1.1.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

 Дифференциальное уравнение с разделенными переменными имеет вид

(1.7)

Интегрируя уравнение (1.7), получим

 

или (1.8)

где

Конечное ( не дифференциальное ) соотношение (1.8) и является общим интегралом уравнения (1.7).

 Пример. Решить уравнение .

Очевидно, это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, получим

Следовательно, общий интеграл уравнения будет

Дифференциальное уравнение вида

(1.9)

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, каждый из которых зависит только от одной переменной, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . Уравнение (1.9) делением обеих частей на произведение функций приводится к уравнению с разделенными переменными

общий интеграл которого

 Пример. Решить равнение Разделяем переменные делением на выражение

Интегрируем полученное уравнение с разделенными переменными

Тогда

Так как C₁ - произвольная постоянная, принимая ее для упрощения полученного выражения в виде

 

представим общий интеграл в виде