2.5. Системы дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций .

Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций

(2.94)

называется системой, записанной в нормальной форме Коши или  нормальной системой .

Решением нормальной системы (2.94) на интервале (a, b) изменения аргумента x называется всякая совокупность n функций , дифференцируемых на интервале (a, b), и обращающих каждое из уравнений системы (2.94) в тождество.

Задача Коши для системы (2.94) формулируется так: требуется найти решение системы, удовлетворяющее при одном и том же начальном значении независимой переменной n начальным условиям

Рассмотрим различные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений.

2.5.1. Метод исключения

Этот метод является достаточно общим, пригодным для систем дифференциальных уравнений различного типа и основан на сведении нормальной системы n дифференциальных уравнений относительно n неизвестных функций к одному дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции. Применение этого метода покажем на примере.

 Пример. Решить систему

 

 7( 0 y 5' 0 = -4y 4  0+ y + x,

 72 0  51  0  51 0  52 0 (2.95)

 7*

 72 0 y 5' 0 = -2y - y + 3x.

 79 5 2 7  5 1 2

Последовательность решения такова: дифференцируем первое уравнение по x:

y 5'' 0 = -4y 5' 0+ y 5' 0 + 1. (2.96)

 51 1 2

Подставляем y 5' 0 из второго уравнения (2.95) в (2.96)

 52

y 5'' 0 = -4y 5' 0 - 2y - y + 3x + 1. (2.97)

 51 1 1 2

Из первого уравнения системы (2.95) находим

 4,

y = y + 4y - x  5  0 (2.98)

 52 1 1

и подставляем в (2.97). В результате получим

y 5'' 0 = -4y 5' 0 - 2y - y 5' 0 - 4y + x + 3x + 5  01 = -5y 5' 0 -6y + 4  04x 4  0+ 4  01  5  или

 51 1 1 1 1 1 1

y 5'' 0 + 5y 5' 0 + 6y = 4  04x 4  0+ 4  01 - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно одной неизвестной функции y 41 0. Его общее решение имеет вид

2 7

y = C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- x - -- . (2.99)

 51 0 3 18

Далее из (2.98) с учетом (2.99) находим y 42 0:

2  7( 0 2x 7  7)

y = 5  0-2C 41 0 e 5-2x  0- 5  03C 42 0 e 5-3x 0 + - + 4 72 0C 41 0e 5-2x 0 + C 42 0e 5-3x 0 + -- - --  72 0-x =

 52 0  5  0 3  79 0 3 18  70

5x 8

= 2C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- - - .

3 9

В результате общее решение системы запишется в виде

2 7

y 41 0 = C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- x - -- ,

3 18

5x 8

y 42 0 = 2C 41 0 e 5-2x 0 + C 42 0 e 5-3x 0 + -- - - .

3