- •2.3. Задачи на собственные значения
- •2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами
- •2.4.1. Уравнение Эйлера
- •2.4.2. Решение задачи Коши методом степенных рядов
- •2.4.3. Построение общего решения линейного неоднородного уравнения методом степенных рядов
- •2.4.4. Применение формулы Тейлора
- •2.4.5. Особенности суммирования рядов на эвм, шаговый подход в методах степенных рядов
- •2.5. Системы дифференциальных уравнений
- •2.5.1. Метод исключения
- •2.5.2. Метод Эйлера
- •2.5.3. Метод вариации произвольных постоянных
- •2.6. Приближённые аналитические методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
- •2.6. 1. Метод Бубнова
- •2.6.2. Метод наименьших квадратов
- •2.6.3. Метод коллокаций
2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами
Если коэффициенты линейного неоднородного уравнения
(2.61)
и его правая часть f(x) представляют собой функции, которые определены и непрерывны на заданном интервале, то рассмотренные выше теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения, основная теорема для однородного уравнения остаются справедливыми. Остаются в силе также принцип суперпозиции (наложения) решений для неоднородного уравнения и метод вариации произвольных постоянных. Но при этом нельзя искать частные линейно независимые решения однородного уравнения в виде экспоненты.
2.4.1. Уравнение Эйлера
Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
, (2.62)
где - константы. В частности, при уравнение Эйлера имеет вид
(2.63)
Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x. Для наиболее распространенного случая (2.63), полагая
|
получим
(2.65)
Пример . Решить уравнение
(2.66)
Однородное линейное уравнение, соответствующее уравнению (2.66), есть уравнение Эйлера. Применим замену по формулам (2.64), (2.65). Тогда
и после упрощений получим линейное неоднородное уравнение с пос-
тоянными коэффициентами
(2.67)
Его общее решение
где - общее решение соответствующего однородного уравнения:
- частное решение неоднородного уравнения ,
- частное решение неоднородного уравнения .
Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют
вид
Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
(2.68)
Теперь, чтобы от решения (2.68) перейти к общему решению исходного уравнения (2.66), возвращаемся к переменной x по формулам замены (2.64). В результате получим общее решение исходного уравнения (2.66) в виде
В общем случае уравнения с переменными коэффициентами (2.61) задачу приходится решать приближёнными методами. Одним из эффективных приближённых методов является метод степенных рядов. Изложение этого метода подробно приведено в учебном пособии [6]. Поэтому здесь мы остановимся на нескольких примерах применения степенных рядов.
2.4.2. Решение задачи Коши методом степенных рядов
Пусть требуется решить задачу Коши с уравнением
(2.69)
и начальными условиями
(2.70)
Для построения ряда, представляющего решение задачи, можно применить формулу Тейлора, метод неопределённых коэффициентов, метод последовательных приближений. Метод неопределённых коэффициентов для решения дифференциальных уравнений встречается уже в работах И.Ньютона (I.Newton,1642-1727) , Готфрида-Вильгельма Лейбница (G.-W.Leibniz, 1646-1716), Якова Бернулли (J.Bernoul-li,1654-1705),Иоганна Бернулли (I.Bernoulli, 1667-1748) на заре развития дифференциального и интегрального исчисления. В соответствии с этим методом представим решение задачи (2.69), (2.70) степенным рядом
2.71)
Подставляем искомое решение (2.71) в уравнение (2.69), учитывая соотношения
После подстановки получаем тождество:
В левой части этого тождества имеем степенной ряд. Ряд будет тождественно равен нулю, если его коэффициенты будут равны нулю. Приравнивая коэффициенты нулю, получаем систему уравнений:
………………………….
Из этой системы следуют рекуррентные соотношения:
………..
(2.72)
позволяющие последующие коэффициенты ряда выразить через предыдущие. Подчиняя искомое решение (2.71) начальным условиям, получаем . Остальные коэффициенты ряда определяются по рекуррентным формулам (2.72):
и т. д.
После подстановки коэффициентов в (2.71) получаем окончательное выражение
(2.73)
Применяя признак Даламбера, легко установить, что ряд в выражении (2.73) сходится на всей числовой оси. Следовательно формула (2.73) представляет решение исходной задачи при