2.4. Дифференциальные линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами

Если коэффициенты линейного неоднородного уравнения

(2.61)

и его правая часть f(x) представляют собой функции, которые определены и непрерывны на заданном интервале, то рассмотренные выше теоремы о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения, основная теорема для однородного уравнения остаются справедливыми. Остаются в силе также принцип суперпозиции (наложения) решений для неоднородного уравнения и метод вариации произвольных постоянных. Но при этом нельзя искать частные линейно независимые решения однородного уравнения в виде экспоненты.

2.4.1. Уравнение Эйлера

Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида

, (2.62)

где - константы. В частности, при уравнение Эйлера имеет вид

(2.63)

Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x. Для наиболее распространенного случая (2.63), полагая

получим

(2.65)

 Пример . Решить уравнение

(2.66)

Однородное  линейное уравнение, соответствующее  уравнению (2.66), есть уравнение Эйлера. Применим замену по формулам (2.64), (2.65). Тогда

и после упрощений получим линейное неоднородное уравнение с пос-

тоянными коэффициентами

(2.67)

Его общее решение

где - общее решение соответствующего однородного уравнения:

- частное решение неоднородного уравнения ,

- частное решение неоднородного уравнения .

Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют

вид

Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет

(2.68)

Теперь, чтобы от решения (2.68) перейти к общему решению исходного уравнения (2.66), возвращаемся к переменной x по формулам замены (2.64). В результате получим общее решение исходного уравнения (2.66) в виде

В общем случае уравнения с переменными коэффициентами (2.61) задачу приходится решать приближёнными методами. Одним из эффективных приближённых методов является метод степенных рядов. Изложение этого метода подробно приведено в учебном пособии [6]. Поэтому здесь мы остановимся на нескольких примерах применения степенных рядов.

2.4.2. Решение задачи Коши методом степенных рядов

Пусть требуется решить задачу Коши с уравнением

(2.69)

и начальными условиями

(2.70)

Для построения ряда, представляющего решение задачи, можно применить формулу Тейлора, метод неопределённых коэффициентов, метод последовательных приближений. Метод неопределённых коэффициентов для решения дифференциальных уравнений встречается уже в работах И.Ньютона (I.Newton,1642-1727) , Готфрида-Вильгельма Лейбница (G.-W.Leibniz, 1646-1716), Якова Бернулли (J.Bernoul-li,1654-1705),Иоганна Бернулли (I.Bernoulli, 1667-1748) на заре развития дифференциального и интегрального исчисления. В соответствии с этим методом представим решение задачи (2.69), (2.70) степенным рядом

2.71)

Подставляем искомое решение (2.71) в уравнение (2.69), учитывая соотношения

После подстановки получаем тождество:

В левой части этого тождества имеем степенной ряд. Ряд будет тождественно равен нулю, если его коэффициенты будут равны нулю. Приравнивая коэффициенты нулю, получаем систему уравнений:

………………………….

Из этой системы следуют рекуррентные соотношения:

………..

(2.72)

позволяющие последующие коэффициенты ряда выразить через предыдущие. Подчиняя искомое решение (2.71) начальным условиям, получаем . Остальные коэффициенты ряда определяются по рекуррентным формулам (2.72):

и т. д.

После подстановки коэффициентов в (2.71) получаем окончательное выражение

(2.73)

Применяя признак Даламбера, легко установить, что ряд в выражении (2.73) сходится на всей числовой оси. Следовательно формула (2.73) представляет решение исходной задачи при

Соседние файлы в папке Метода по ОДУ теория