2.3. Задачи на собственные значения

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

второго порядка

(2.51)

c однородными граничными условиями

(2.52)

Здесь предполагается, что 0 7 ,  0x 7 ,  0L,  7l 0 некоторый параметр, имеющий определенный физический смысл.

Задача (2.51), (2.52) является однородной краевой задачей. Особенность ее в том, что для любого значения параметра она имеет "тривиальное" решение y=0. Но кроме того, имеются еще определенные значения, при которых задача имеет не равные тождественно нулю ("нетривиальные") решения. Такие значения параметраназываютсясобственными значениями , а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются  собственными функциями . Сама же задача отыскания собственных значений и собственных функций называется  задачей на собственные значения . Эта задача представляет большой интерес для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.

Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости консольно закрепленного стержня, сжатого продольной силой P. С математической точки зрения эта задача сводится именно к задаче на собственные значения (2.51), (2.52). При этом параметр

(2.53)

где EI-изгибная жесткость стержня длиной L. Тривиальное решение y=0 соответствует прямолинейной форме равновесия сжатого стержня. Для определения собственных значений параметра следует, во-первых, найти общее решение уравнения (2.51). Заранее известно, что общее решение

(2.54)

Отыскивая частные решения ,в форме экспоненты:приходим к характеристическому уравнениюкоторое имеет мнимые корни,. Поэтому общее решение уравнения (2.51) принимает вид

(2.55)

Общее решение (2.55) подчиняем граничным условиям (2.52). Из условия следует, что. Удовлетворяя второму граничному условию, получаем уравнение.

Из условия существования нетривиального решения . Следовательно, необходимо принять

(2.56)

Из этого простейшего тригонометрического уравнения следует Поэтому собственные значения параметрабудут равны

  (2.57)

Соответствующие им собственные функции

(2.58)

определены, как видно, с точностью до постоянного множителя.

Формулы (2.57), (2.58) дают решение задачи (2.51), (2.52) на собственные значения. Как видно из (2.57), существует бесконечное количество собственных значений параметра . Подставим (2.57) в выражение (2.53)

(2.59)

Из формулы (2.59) следует, что существует множество значений сжимающей силы P, при которых возможны различные искривленные формы равновесия продольно сжатого стержня. Наименьшее значение сжимающей силы, соответствующее n=0, называется критическим и равно

. (2.60)

При этом значении силы первоначальная прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится неустойчивой.