1.2.3 Опосередковані вимірювання при нелінійній залежності

Загальним випадком опосередкованих вимірювань є їх опис нелінійним рівнянням, яке охоплює і опосередковані вимірювання при лінійній залежності. Для оцінки результату таких вимірювань використовують метод лінеаризації, який передбачає розклад нелінійної функції в ряд Тейлора. Для оцінки результату і похибки опосередкованих вимірювань знайдемо ефективні оцінки дійсних значень величин , вимірюваних прямими методами, тобто такі оцінки, які забезпечували б найменшу дисперсію, а отже, найбільшу точність результату опосередкованих вимірювань після підстановки оцінок у нелінійне рівняння. Припускаючи, що в результатах прямих вимірювань присутні тільки випадкові похибки (систематичні похибки вилучені або враховані), отримаємо

;

,

де Y  абсолютна випадкова похибка оцінки ;

 абсолютна випадкова похибка оцінки .

З урахуванням цих рівностей формулу (1.167) запишемо у вигляді:

.

Це рівняння, зважаючи на те, що відносні випадкові похибки оцінок малі у порівнянні з одиницею, тобто << 1, розкладають у m-мірний ряд Тейлора в точці за степенями випадкових похибок . Обмежимося першою і другою степенями розкладу (ряду)

, (1.43)

де  нелінійна функціональна залежність вимірюваної величини Y від вимірюваних аргументів ;

 перша похідна від функції F за аргументом , яка обчислюється в точці ;

(1.44)

 залишковий член ряду.

Функція розкладена в ряд Тейлора у точці . Знак мінус перед сумою пояснюється тим, що абсолютна похибка за визначенням дорівнює , а за правилом розкладу в ряд Тейлора повинно бути .

Метод лінеаризації застосовують, якщо приріст функції   можна замінити її повним диференціалом .

Оскільки перші члени правої і лівої частин виразу (1.170) не залежать від похибок, то їх можна подати наступними рівностями:

; (1.45

. (1.46)

Таким чином, як випливає із рівняння (1.40), оцінку істинного значення Y фізичної величини при опосередкованих вимірюваннях отримують підстановкою в рівняння (1.40) оцінок істинних значень фізичних величин, вимірюваних прямими методами [20].

Залишковим членом R можна знехтувати за умови

.

Проте на практиці ним, як правило, нехтують без перевірки цієї умови і залишають лінійні (за похибкою) члени ряду. І тільки в тому випадку, коли при оцінці похибки вони дають нульову оцінку, враховують квадратичні члени ряду.

Визначимо оцінку СКВ випадкової похибки Y оцінки результату опосередкованих вимірювань, нехтуючи залишковим членом, тобто залишаючи тільки лінійні члени ряду:

.

Використовуючи визначення дисперсії і основні властивості математичного сподівання, отримаємо:

(1.47)

Для математичного сподівання добутку випадкових похибок справедлива рівність

З врахуванням цього виразу формула (1.168) для дисперсії випадкової похибки результату опосередкованих вимірювань набуває вигляду

. (1.48)

Частинні похідні називають коефіцієнтами впливу, а величини  частинними похибками опосередкованих вимірювань. Якщо ввести позначення , то

.

Оскільки коефіцієнти кореляції не залежать від значень оцінок і вимірюваних величин і , то з виразу (1.175) випливає, що дисперсія оцінки опосередкованих вимірювань досягає мінімуму в тому випадку, коли з можливих оцінок початкових величин вибрані ті, дисперсії яких мінімальні. Такими оцінками для величин, вимірюваних прямими методами з багаторазовими спостереженнями, є середні значення відповідних серій спостережень.

Отже, найбільш вірогідним значенням фізичної величини Y, вимірюваної опосередкованим методом, є значення, отримане з формули (1.46) після підстановки в неї середніх арифметичних значень серій вимірювань початкових величин (або аргументів):

. (1.49)

Оцінка СКВ результату опосередкованих вимірювань визначається за умови, що :

, (1.50)

причому значення частинних похідних обчислюються при середніх арифметичних значеннях аргументів .

Якщо випадкові похибки вимірювань початкових величин попарно некорельовані , то оцінка СКВ результату опосередкованих вимірювань (1.50) дорівнює сумі квадратів частинних похибок:

. (1.51)

При прямих одноразових вимірюваннях формули (1.49)...(1.51) мають той самий вигляд, але в них треба провести формальну заміну: на Y, на , на , на і на .

Проведемо зіставлення похибки і невизначеності опосередкованих вимірювань. Формули для СКВ похибки опосередкованих вимірювань (1.50), (1.51) одночасно визначають сумарну стандартну невизначеність таких вимірювань відповідно для корельованих і некорельованих вимірюваних величин . У цих формулах можуть використовуватися стандартні невизначеності типу А (для яких вони приведені) і стандартні невизначеності типу В.

В свою чергу, через сумарну стандартну невизначеність обчислюється розширена невизначеність вимірювань, яка є інтервальною оцінкою, за формулою:

U = k_ou_c,

де U  розширена невизначеність вимірювань;

u_c  сумарна стандартна невизначеність вимірювань, зокрема або ;

k_o  коефіцієнт охоплення, тобто числовий коефіцієнт, що використовується як множник сумарної стандартної невизначеності для визначення розширеної невизначеності [24].

У загальному випадку коефіцієнт охоплення вибирають згідно з рівністю

k_o = t_P(k_s еф),

де t_P(k_s еф)  коефіцієнт Стьюдента, який залежить від ефективного числа степенів свободи k_s еф та довірчої ймовірності Р.

Для більшості практичних задач число степенів вільності k_s еф знаходиться в інтервалі 1,5...3,0. Так, для нормального закону розподілу можливих значень вимірюваної величини вважають k_s еф = 2 при Р=0,95 і k_s еф = 3 при Р = 0,99; для рівномірного розподілу k_s еф = 1,65 при Р = 0,95 і k_s еф = 1,71 при Р = 0,99.