1.1.6 Опрацювання результатів багаторазових прямих вимірювань

Обробку результатів багаторазових спостережень прямих вимірювань слід здійснювати відповідно до розглянутих етапів:

- якщо потрібно, виконати попередню обробку вибірки (відкинути або якомога зменшити систематичні похибки), а також перевірити, чи відповідає вибірка нормальному закону розподілу; відкинути промахи;

- обчислити надійні межі невиключених залишків систематичної складової похибки ; у найпростішому випадку визначити граничні значення основної похибки, вважаючи, що

- найвірогіднішим значенням результату вимірювання буде вибіркове середньоарифметичне:

(1.17)

- вибіркове середньоквадратичне відхилення значення х від істинного значення фізичної величини обчислити за формулою

, (1.18)

для зручності обчислень на ЕОМ цю формулу доцільно перетворити:

(1.19)

- надійну межу випадкової похибки результату вимірювання визначити за формулою

(1.20)

Значення коефіцієнта надійності для ймовірностей 0,95 та 0,99; значення для ймовірності Р=0,95 можна приблизно обчислити також за емпіричною формулою (для n>4)

(1.21)

- обчислюючи надійну межу загальної похибки ∆А результату, треба врахувати як ε, так і ; для цього спочатку слід обчислити допоміжний параметр , причому:

- якщо < 0,8, то величиною можна знехтувати і вважати, що:

- якщо > 8, то можна знехтувати величиною ε , вважаючи, що:

- якщо 0,8<<8, то

,

де

(1.22)

- результати вимірювання записати як:

Х=А±∆А (при Р= 0,95)

де А — найвірогідніше (дійсне) значення результату вимірювання; ∆А — надійна межа загальної похибки результату вимірювання.

Такий запис означає, що з ймовірністю Р= 95 % можна стверджувати, що шукане істинне значення X вимірюваної величини перебуває в інтервалі між А-∆А та А+∆А : х_н та х_в — відповідно нижня і верхня межі надійного інтервалу для результату вимірювання. Однак істинне значення X може опинитися й за межами даного інтервалу, хоча ймовірність цього й невелика (лише 0,05, тобто 5 %);

- остаточне значення ∆А виразити числом, що містить не більш як дві значущі цифри. Як правило, в ∆А залишають одну значущу цифру; другу цифру можна залишати тоді, коли перша цифра менша за 3; при цьому другу значущу цифру доцільно округлити до 0 або 5, Дві значущі цифри залишають також у разі важливих і особливо точних вимірювань і якщо з результатами вимірювання виконуватимуться подальші розрахунки. Числове значення А має закінчуватися десятковим знаком того самого розряду, яким закінчується ∆А.

Правила округлення чисел загальноприйняті [49]:

- цифри ліворуч від коми, що відкидаються, замінюються нулями, але в показниковій формі (наприклад, );

- якщо перша з цифр, що відкидаються, менша за 5, то цифри, що залишаються, не змінюються ();

- якщо перша з цифр, що відкидаються, більша за 5 або дорівнює 5, то остання з цифр, що залишаються, збільшується на одиницю (; ; ).

1.1.7 Опрацювання результатів прямих нерівноточних вимірювань

У вимірювальній практиці іноді виникає потреба в обчисленні найдостовірнішого значення певної величини на основі вимірювань, здійснених із різною точністю (нерівноточні вимірювання). При знаходженні цього значення слід взяти до уваги точність результату кожного вимірювання, для чого вводиться поняття ваги g результату кожного вимірювання — це число, що є мірою ступеня довіри до результату цього вимірювання. Найдостовірнішим значенням вимірюваної величини при цьому вважається так зване середньозважене значення.

Якщо під час аналізу умов проведення вимірювання виявляється, що середні результати отримано за використання однакових приладів, але за неоднакової кількості спостережень, то можна вважати, що ваги середніх результатів пропорційні кількості спостережень для даного результату: g_і (тут а - будь-яке число).

Якщо ж ваги окремих результатів визначаються на основі порівняння загальних похибок цих результатів, то ваги їх можна обчислити за формулою

(1.23)

Тут С—довільно вибране число; для полегшення обчислень доцільно взяти С таким, щоб усі g_і були по можливості цілими числами; ∆A_g - надійна межа загальної похибки середньозваженого результату, що обчислюється за формулою

(1.24)

де А_і — результати окремих вимірювань; g_i — вага, що характеризує точність і-го результату; N — кількість окремих результатів вимірювань.

Ваги результатів окремих вимірювань можна визначити двома способами:

• на основі аналізу всіх умов, за яких виконувалося вимірювання;

• на основі порівняння загальних похибок результатів окремих вимірювань.

При зіставленні результатів обробки двох вибірок можливі випадки взаємного перетину їх надійних інтервалів (наприклад, як зображено на рис.1.2). У такому разі треба з'ясувати, наскільки вірогідні відмінності між ними, чи вони настільки несуттєві, що обидві вибірки слід вважати приналежними до однієї й тієї самої генеральної сукупності.

Рисунок 1.2 – Результати обробки двох вибірок

Припустімо, що є дві вибірки, кожну з яких можна вважати нормально розподіленою. Перша вибірка має параметри та , друга — відповідно та .

Необхідно обчислити значення коефіцієнта кореляції t за формулою

(1.25)

Для обраної ймовірності Р та значення n (яке слід обчислити за формулою n = n₁+n₂ -1) в таблиці дод. 5 знаходимо t_. Якщо t> t_, то різниця між та є статистично вірогідною, і можна стверджувати, що ці вибірки належать до різних генеральних сукупностей. Якщо t t_, то вибіркові середньоарифметичні та відрізняються несуттєво, тобто ці обидві вибірки вилучені з однієї й тієї самої генеральної сукупності.

Якщо експериментально отримано сукупність значень х_і та у_і причому характер функціонального зв'язку між ними у=f(х) теоретично відомий, то обробка таких результатів вимірювань зводиться до обчислення параметрів функції, що найкраще відображає дану експериментальну залежність (таку функцію називають рівнянням регресії).

Цей метод особливо зручно використовувати для обробки експериментальних функціональних залежностей у випадку лінійного зв'язку між х та у. Рівняння лінійної регресії має такий загальний вигляд:

у=ax + b.

Обробка серії пар величин х_і та у_і дає змогу обчислити коефіцієнти лінійної регресії:

(1.26)

. (1.27)

Тут n — кількість пар величин х_і та у_і у даному експерименті.

Для оцінки точності обробки результатів вимірювань треба обчислити середньоквадратичне значення відхилення експериментальних точок х_і , у_і від рівняння лінійної регресії; при цьому ширина смуги, що характеризує неточність результату (рис.1.3,а), дорівнює 2S_y(x).

Рисунок 1.3 – Ширина смуги неточності результату

Для обчислення значення S_y(x) можна скористатися формулою:

(1.28)

В окремому випадку, коли відомо, що графік рівняння лілійної регресії проходить через нуль координатної системи (рис, 1.3,б), тобто це рівняння мас вигляд:

у=ах,

коефіцієнт а обчислюють за формулою:

, (1.29)

а середньоквадратичне значення відхилення:

. (1.30)